Para cada uma das equações a seguir:
  • Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
  • Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
    Item 1.
    \left(y^{2}-e^{2 x} y^{3}\right) d x-y d y=0.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
  • Classificar a equação dentre as opções: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
  • Determinar a solução geral da equação.
A equação fornecida é
\left(y^{2}-e^{2x}y^{3}\right)\,dx - y\,dy = 0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Podemos identificar as componentes da forma diferencial M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0 como M(x,y)=y^{2}-e^{2x}y^{3},\qquad N(x,y)=-y.
  • A equação pode ser transformada para a forma \dfrac{dy}{dx}=\cdots isolando dy/dx.
    Nada mais é fornecido.

Passo 2

Primeiro passo prático: escrever a equação em forma explícita \dfrac{dy}{dx}= algo. A partir de
\left(y^{2}-e^{2x}y^{3}\right)\,dx - y\,dy = 0
dividindo por dx e isolando dy/dx obtemos
-y\frac{dy}{dx} = -\bigl(y^{2}-e^{2x}y^{3}\bigr).
Multiplicando por -1 e dividindo por y (assumindo y\neq0 momentaneamente) resulta
\frac{dy}{dx} = y - e^{2x}y^{2}.
Esta forma \dfrac{dy}{dx}=y - e^{2x}y^{2} será usada para as classificações e resolução.

Passo 3

Verificação de exatidão (apenas para checar): para a forma M\,dx+N\,dy=0 a condição de exatidão é \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y} = 2y - 3e^{2x}y^{2},\qquad \frac{\partial N}{\partial x} = 0.
Como 2y-3e^{2x}y^{2}\neq 0 em geral, a equação NÃO é exata.

Passo 4

Verificação de separabilidade: uma EDO é separável se puder ser escrita como \dfrac{dy}{dx}=f(x)\,g(y). Aqui
\frac{dy}{dx}=y(1-e^{2x}y).
O termo (1-e^{2x}y) mistura x e y de forma que não se escreve como produto de uma função só de x por uma só de y. Portanto a equação NÃO é separável (pelo método direto usual).

Passo 5

Verificação de homogeneidade: funções M e N seriam homogêneas de mesma ordem se dependessem de x e y por potências com mesmo grau. Aqui há fator e^{2x} que não é homogêneo em x,y. Logo a equação NÃO é homogênea.

Passo 6

Verificação de linearidade: uma equação de primeira ordem é linear se pode ser escrita como \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x). A nossa forma é
\frac{dy}{dx}-y = -e^{2x}y^{2},
ou seja, aparece um termo em y^{2}. Isso torna a equação NÃO linear. Contudo ela tem a forma padrão da equação de Bernoulli:
\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)y^{n}
com P(x)=-1, Q(x)=-e^{2x} e n=2. Portanto a classificação correta é: equação de Bernoulli (não exata, não linear, não separável, não homogênea).

Passo 7

Explicação didática do método de Bernoulli (passo a passo, do básico):
  • A equação de Bernoulli tem a forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n}.
  • A ideia é transformar essa equação não linear numa equação linear fazendo a substituição z = y^{1-n}.No nosso caso n=2, então escolhemos z = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
  • Por que essa substituição funciona? Porque derivando z em relação a x obtemos uma relação que envolve \dfrac{dy}{dx} dividida por y^{2}, o que cancela o termo y^{2} original e produz uma equação linear em z. Vamos fazer isso com contas.

Passo 8

Aplicando a substituição z=\dfrac{1}{y}. Primeiro calcule dz/dx:
z=\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Usando a equação original \dfrac{dy}{dx}=y - e^{2x}y^{2} substituímos:
\frac{dz}{dx} = -\frac{1}{y^{2}}\bigl(y - e^{2x}y^{2}\bigr) = -\frac{y}{y^{2}} + \frac{e^{2x}y^{2}}{y^{2}} = -\frac{1}{y} + e^{2x}.
Reconhecendo 1/y=z, obtemos a equação linear em z:
\frac{dz}{dx} + z = e^{2x}.

Passo 9

Resolver a equação linear \dfrac{dz}{dx}+z=e^{2x} pelo método do fator integrante.
  • O coeficiente de z é 1, então o fator integrante é \mu(x)=e^{\int 1\,dx}=e^{x}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x)=e^{x} temos e^{x}\frac{dz}{dx} + e^{x}z = e^{x}e^{2x} = e^{3x}.
  • O lado esquerdo é a derivada do produto e^{x}z: \frac{d}{dx}\bigl(e^{x}z\bigr) = e^{3x}.
  • Integramos ambos os lados em relação a x: e^{x}z = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x} + C,onde C é constante de integração.
  • Isolando z: z = \frac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x}.

Passo 10

Retornar à variável original y usando y=1/z. Assim a solução geral é
y(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x}}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por 3e^{x} para uma forma mais compacta:
y(x)=\frac{3e^{x}}{e^{3x} + K},
onde K=3C é uma constante arbitrária (constante de integração reescalada). Ambas as formas representam a mesma família de soluções.
Observação sobre a solução y\equiv 0: note que y=0 não aparece na transformada z=1/y; convém verificar se y\equiv0 é solução da equação original. Substituindo y\equiv0 em \dfrac{dy}{dx}=y-e^{2x}y^{2} obtemos 0=0, então y\equiv0 também é solução (caso trivial). A forma generalizada acima cobre as soluções com y\neq0.

Resposta

Classificação: Bernoulli (com n=2).
Solução geral:
y(x)=\frac{1}{\dfrac{1}{3}e^{2x} + C e^{-x}}\quad(C\\ \text{constante}),
ou equivalentemente
y(x)=\frac{3e^{x}}{e^{3x}+K}\quad(K\\ \text{constante}).
Além disso, y\equiv 0 é solução trivial.

Exercícios relacionados