Para cada uma das equações a seguir:
- Classifique cada uma delas como sendo separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
- Determine a solução geral de cada equação diferencial dada.
Item 1.
.
Item 1.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a equação diferencial dada:
- Classificar a equação dentre as opções: separável, homogênea, linear, de Bernoulli ou exata.
- Determinar a solução geral da equação.
A equação fornecida é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Podemos identificar as componentes da forma diferencial
como - A equação pode ser transformada para a forma
isolando .
Nada mais é fornecido.
Passo 2
Primeiro passo prático: escrever a equação em forma explícita
algo. A partir de
dividindo por
e isolando
obtemos
Multiplicando por
e dividindo por
(assumindo
momentaneamente) resulta
Esta forma
será usada para as classificações e resolução.
Passo 3
Verificação de exatidão (apenas para checar): para a forma
a condição de exatidão é
.
Calculemos:
Como
em geral, a equação NÃO é exata.
Passo 4
Verificação de separabilidade: uma EDO é separável se puder ser escrita como
. Aqui
O termo
mistura
e
de forma que não se escreve como produto de uma função só de
por uma só de
. Portanto a equação NÃO é separável (pelo método direto usual).
Passo 5
Verificação de homogeneidade: funções
e
seriam homogêneas de mesma ordem se dependessem de
e
por potências com mesmo grau. Aqui há fator
que não é homogêneo em
. Logo a equação NÃO é homogênea.
Passo 6
Verificação de linearidade: uma equação de primeira ordem é linear se pode ser escrita como
. A nossa forma é
ou seja, aparece um termo em
. Isso torna a equação NÃO linear. Contudo ela tem a forma padrão da equação de Bernoulli:
com
,
e
. Portanto a classificação correta é: equação de Bernoulli (não exata, não linear, não separável, não homogênea).
Passo 7
Explicação didática do método de Bernoulli (passo a passo, do básico):
- A equação de Bernoulli tem a forma
. - A ideia é transformar essa equação não linear numa equação linear fazendo a substituição
No nosso caso , então escolhemos - Por que essa substituição funciona? Porque derivando
em relação a obtemos uma relação que envolve dividida por , o que cancela o termo original e produz uma equação linear em . Vamos fazer isso com contas.
Passo 8
Aplicando a substituição
. Primeiro calcule
:
Usando a equação original
substituímos:
Reconhecendo
, obtemos a equação linear em
:
Passo 9
Resolver a equação linear
pelo método do fator integrante.
- O coeficiente de
é , então o fator integrante é - Multiplicando a equação por
temos - O lado esquerdo é a derivada do produto
: - Integramos ambos os lados em relação a
: onde é constante de integração. - Isolando
:
Passo 10
Retornar à variável original
usando
. Assim a solução geral é
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
para uma forma mais compacta:
onde
é uma constante arbitrária (constante de integração reescalada). Ambas as formas representam a mesma família de soluções.
Observação sobre a solução
: note que
não aparece na transformada
; convém verificar se
é solução da equação original. Substituindo
em
obtemos
, então
também é solução (caso trivial). A forma generalizada acima cobre as soluções com
.
Resposta
Classificação: Bernoulli (com
).
Solução geral:
Solução geral:
ou equivalentemente
Além disso,
é solução trivial.