Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine sua dimensão.
(b)
(polinômios de grau
)
(b)
Passo 1
O enunciado pede para achar uma base de
, o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 4, e determinar sua dimensão. Vamos usar a definição de base: um conjunto de vetores (polinômios) que é simultaneamente linearmente independente e gera todo o espaço.
Passo 2
Proponho o conjunto
Para ver que
gera
, tome um polinômio arbitrário
com
. Então
logo qualquer
é combinação linear de elementos de
.
Passo 3
Para verificar a independência linear de
, considere
Do fato de um polinômio ser identicamente zero só se todos os coeficientes forem zero, segue
Assim, os vetores em
são linearmente independentes.
Passo 4
Como
gera
e é linearmente independente,
é uma base de
. A dimensão de
é o número de vetores em qualquer base, isto é,
Resposta
Uma base é
e a dimensão de
é
.