Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine sua dimensão.
(b) \mathbb{P}_{4} (polinômios de grau \leq 4 )

Passo 1

O enunciado pede para achar uma base de \mathbb{P}_{4}, o espaço dos polinômios reais de grau no máximo 4, e determinar sua dimensão. Vamos usar a definição de base: um conjunto de vetores (polinômios) que é simultaneamente linearmente independente e gera todo o espaço.

Passo 2

Proponho o conjunto
B = \{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;x^{4}\}.
Para ver que B gera \mathbb{P}_{4}, tome um polinômio arbitrário
p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + a_{4}x^{4},
com a_{0},\dots,a_{4}\in\mathbb{R}. Então
p(x) = a_{0}\cdot 1 + a_{1}\cdot x + a_{2}\cdot x^{2} + a_{3}\cdot x^{3} + a_{4}\cdot x^{4},
logo qualquer p é combinação linear de elementos de B.

Passo 3

Para verificar a independência linear de B, considere
c_{0}\,1 + c_{1}\,x + c_{2}\,x^{2} + c_{3}\,x^{3} + c_{4}\,x^{4} = 0 \quad\text{(polinômio nulo).}ô
Do fato de um polinômio ser identicamente zero só se todos os coeficientes forem zero, segue
c_{0} = c_{1} = c_{2} = c_{3} = c_{4} = 0.
Assim, os vetores em B são linearmente independentes.

Passo 4

Como B gera \mathbb{P}_{4} e é linearmente independente, B é uma base de \mathbb{P}_{4}. A dimensão de \mathbb{P}_{4} é o número de vetores em qualquer base, isto é,
\dim(\mathbb{P}_{4}) = 5.

Resposta

Uma base é
\{\,1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;x^{4}\},
e a dimensão de \mathbb{P}_{4} é 5.

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