Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine sua dimensão.
(e) W=1+x, x^{2}, 2-x^{2}, x+x^{3} em \mathbb{P}_{4}

Passo 1

O enunciado pede o subespaço
W=\operatorname{span}\{\,1+x,\;x^{2},\;2 - x^{2},\;x + x^{3}\} \subset \mathbb{P}_{4},
ou seja, o espaço gerado por esses quatro polinômios. Precisamos encontrar um conjunto de geradores linearmente independentes (uma base de W) e calcular \dim(W).

Passo 2

Vamos escrever cada polinômio em coordenadas na base padrão
\{1,\\ x,\\ x^{2},\\ x^{3},\\ x^{4}\}. Denotando
p_{1}=1+x,\quad p_{2}=x^{2},\quad p_{3}=2-x^{2},\quad p_{4}=x+x^{3},
temos as coordenadas coluna de cada p_{j}:
p_{1}\mapsto \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad p_{2}\mapsto \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad p_{3}\mapsto \begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad p_{4}\mapsto \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.

Passo 3

Montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas e verificamos se há combinação linear não trivial:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 0\\\\ 1 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 &-1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Para
\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}+\delta p_{4}=0\) os coeficientes em cada grau geram o sistema \[\begin{cases} \alpha+2\gamma=0,\\\ \alpha+\delta=0,\\\ \beta-\gamma=0,\\\ \delta=0, \end{cases}
que só admite a solução trivial
\alpha=\beta=\gamma=\delta=0\]. Logo, \(\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\} é linearmente independente.

Passo 4

Como temos quatro vetores independentes em W,
\dim(W)=4.
Além disso, qualquer conjunto de quatro vetores que gere W e seja independente é uma base. Os próprios p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} servem, mas também podemos observar que W coincide com \mathbb{P}_{3} (polinômios de grau <=3), cuja base padrão é \{1,x,x^{2},x^{3}\}.

Resposta

Uma base conveniente é
\{\,1+x,\;x^{2},\;2 - x^{2},\;x + x^{3}\}
e
\dim(W)=4.

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