ou seja, o espaço gerado por esses quatro polinômios. Precisamos encontrar um conjunto de geradores linearmente independentes (uma base de W) e calcular \dim(W).
Passo 2
Vamos escrever cada polinômio em coordenadas na base padrão \{1,\\ x,\\ x^{2},\\ x^{3},\\ x^{4}\}. Denotando
\alpha p_{1}+\beta p_{2}+\gamma p_{3}+\delta p_{4}=0\)
os coeficientes em cada grau geram o sistema
\[\begin{cases} \alpha+2\gamma=0,\\\ \alpha+\delta=0,\\\ \beta-\gamma=0,\\\ \delta=0, \end{cases}
que só admite a solução trivial \alpha=\beta=\gamma=\delta=0\]. Logo, \(\{p_{1},p_{2},p_{3},p_{4}\} é linearmente independente.
Passo 4
Como temos quatro vetores independentes em W,
\dim(W)=4.
Além disso, qualquer conjunto de quatro vetores que gere W e seja independente é uma base. Os próprios p_{1},p_{2},p_{3},p_{4} servem, mas também podemos observar que W coincide com \mathbb{P}_{3} (polinômios de grau <=3), cuja base padrão é \{1,x,x^{2},x^{3}\}.