Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine sua dimensão.
(a) \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede para cada espaço vetorial encontrar uma base (conjunto de vetores linearmente independentes que geram o espaço) e determinar sua dimensão (número de vetores da base). Aqui vamos tratar de \mathbb{R}^3.

Passo 2

Lembrando que uma base de um espaço vetorial V é um conjunto \{\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_n\} tal que:
  1. Os vetores são linearmente independentes.
  2. Eles geram V, ou seja, qualquer \mathbf{v}\in V pode ser escrito como combinação linear deles.
    A dimensão de V é então n.

Passo 3

Em \mathbb{R}^3 usamos a base canônica, definida por
\mathbf{e}_1 = (1,0,0),\quad \mathbf{e}_2 = (0,1,0),\quad \mathbf{e}_3 = (0,0,1).

Passo 4

Verificações:
  1. Linearmente independentes: se
\alpha_1\mathbf{e}_1 + \alpha_2\mathbf{e}_2 + \alpha_3\mathbf{e}_3 = (0,0,0),
então das componentes segue \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.
2. Geram \mathbb{R}^3: dado qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^3,
(x,y,z) = x\,\mathbf{e}_1 + y\,\mathbf{e}_2 + z\,\mathbf{e}_3.

Resposta

Uma base de \mathbb{R}^3 é
\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\},
e sua dimensão é 3.

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