Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(b) V=\left\{\left.\left[\begin{array}{ccc}a & 2 a & 0 \\\\ 0 & a-b & -2 c \\\ c & 0 & 3 b\end{array}\right] \in M(3,3, \mathbb{R}) \right\rvert\, a, b, c \in \mathbb{R}\right\},

Passo 1

O enunciado define o subespaço
V=\left\{\left.\begin{pmatrix} a & 2a & 0\\\\ 0 & a - b & -2c\\\ c & 0 & 3b \end{pmatrix}\;\right|\;a,b,c\in\mathbb{R}\right\}
em M(3,3,\mathbb{R}). O conteúdo é identificação de base de um subespaço parametrizado por três escalares. Vamos escrever cada matriz de V como combinação linear de três matrizes canônicas e checar independência.

Passo 2

Seja
M(a,b,c)=\begin{pmatrix} a & 2a & 0\\\\ 0 & a - b & -2c\\\ c & 0 & 3b \end{pmatrix}.
Separamos termos em a, b e c:
M(a,b,c) = a\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{A} + b\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & -1 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}}_{B} + c\underbrace{\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & -2\\\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}}_{C}.

Passo 3

As matrizes
A=\begin{pmatrix}1&2&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&-1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&-2\\\ 1&0&0\end{pmatrix}
têm suportes em posições diferentes, logo são linearmente independentes. Qualquer combinação
xA+yB+zC=0
força x=y=z=0.

Passo 4

Como todo M(a,b,c)\in V é
M(a,b,c)=aA+bB+cC
e \{A,B,C\} é LI, concluímos que
\{A,B,C\}
é uma base de V.

Passo 5

O número de vetores na base é 3, portanto
\dim(V)=3.

Resposta

Uma base é
\left\{ \begin{pmatrix}1&2&0\\\ 0&1&0\\\ 0&0&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&-1&0\\\ 0&0&3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0&0&0\\\ 0&0&-2\\\ 1&0&0\end{pmatrix} \right\},
e \dim(V)=3.

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