Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(a) V=\left\{(-a, b, 2 c, 0,-b) \in \mathbb{R}^{5} \mid a, b, c \in \mathbb{R}\right\},

Passo 1

O enunciado define o subespaço V\subset\mathbb{R}^5 formado pelos vetores da forma
(-a,\;b,\;2c,\;0,\;-b),
onde a,b,c\in\mathbb{R}. O conteúdo aqui é determinação de base e dimensão de um subespaço, usando parametrização.

Passo 2

Parametrizamos o vetor genérico de V pelos escalares a,b,c. Escrevemos
(-a,\;b,\;2c,\;0,\;-b) = a\;(-1,0,0,0,0) + b\;(0,1,0,0,-1) + c\;(0,0,2,0,0).
Isso mostra que todo vetor de V é combinação linear dos três vetores acima.

Passo 3

Observamos que os três vetores
v_1 = (-1,0,0,0,0),\quad v_2 = (0,1,0,0,-1),\quad v_3 = (0,0,2,0,0)
são linearmente independentes, pois nenhum deles pode ser obtido como combinação dos outros.

Passo 4

Como \{v_1,v_2,v_3\} gera V e é LI, é uma base de V. Logo
\dim(V) = 3.

Resposta

Uma base é, por exemplo,
\{\,(-1,0,0,0,0),\;(0,1,0,0,-1),\;(0,0,2,0,0)\},
e \dim(V)=3.

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