Para cada espaço vetorial, encontre uma base e determine a dimensão.
(c)
,
(c)
Passo 1
O enunciado define o subespaço
do espaço vetorial
. O objetivo é encontrar uma base de
e determinar sua dimensão. Para isso, vamos escrever um polinômio genérico de grau
, impor a restrição linear entre os coeficientes e parametrizar os graus de liberdade resultantes.
Passo 2
Seja
A condição
pode ser reescrita como
Isto mostra que, dentre os quatro coeficientes
, apenas três são livres (por exemplo
).
Passo 3
Escolhendo
como parâmetros livres, substituímos
em
:
Isso mostra que
Passo 4
Para verificar que
é uma base, note que são três vetores lineares independentes em
(nenhum deles pode ser escrito como combinação linear dos outros) e geram todo
. Portanto, formam de fato uma base de
.
Resposta
Base de
:
Dimensão de :
Dimensão de