Determine se o conjunto A é L.D. ou L.I.
(b) A=\left\{\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\\\ 0 & -3\end{array}\right]\right\},

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o conjunto
A = \left\{M_1,\,M_2,\,M_3\right\}
em M_{2\times2}(\mathbb{R}), onde
M_1 = \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix},\quad M_2 = \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix},\quad M_3 = \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & -3\end{pmatrix},
é linearmente dependente (L.D.) ou linearmente independente (L.I.).
Conteúdo: independência linear em espaços vetoriais. Para mostrar L.I., precisamos ver que a única combinação \alpha M_1 + \beta M_2 + \gamma M_3 = 0 é a trivial \alpha=\beta=\gamma=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação
\alpha \begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & 1\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 0 & -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando componente a componente, obtemos o sistema:
\begin{cases} \alpha + 0\beta + 2\gamma = 0,\\\\ 0\alpha + \beta + 0\gamma = 0,\\\\ 2\alpha - \beta + 0\gamma = 0,\\\\ -\,\alpha + \beta -3\gamma = 0. \end{cases}

Passo 3

Da segunda equação vem
\beta = 0.
Substituindo em 2\alpha - \beta = 0
2\alpha = 0\quad\Longrightarrow\quad \alpha = 0.
Finalmente, pela primeira equação
\alpha + 2\gamma = 0
torna-se 2\gamma=0, logo
\gamma = 0.

Passo 4

Como o único vetor de coeficientes que zera a combinação é \alpha=\beta=\gamma=0, concluímos que não há relação não trivial entre M_1,M_2,M_3. Portanto, o conjunto é linearmente independente.

Resposta

O conjunto A é linearmente independente.

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