Para cada exercício abaixo, para cada item, faça um esboço do gráfico da função e dos retângulos utilizados na aproximação da área.
Calcule uma aproximação para a área entre o gráfico da função f(x)=cos (x) e o eixo x no intervalo [0, pi] usando duas somas de Riemann com 4 retângulos em cada soma, uma soma para o intervalo [0, pi / 2] e outra para o intervalo [pi / 2, pi].

Passo 1

O enunciado pede aproximar a área entre o gráfico de f(x)=cos(x) e o eixo x em [0,pi], usando duas somas de Riemann à esquerda com 4 retângulos em cada soma: uma para [0,pi/2] e outra para [pi/2,pi]. Vamos precisar da teoria de soma de Riemann (dividir o intervalo, calcular De, avaliar f nos pontos à esquerda e somar as áreas dos retângulos).

Passo 2

Dividimos o intervalo em dois subintervalos iguais em número de retângulos. Em cada um deles temos
De para [0,pi/2] e De para [pi/2,pi]. No esboço aparecem 4 retângulos de base pi/8 em cada subintervalo.

Passo 3

No intervalo [0,pi/2] tomamos os pontos à esquerda
xi = 0,; pi8,; pi4,; 3pi8 As alturas são f(xi)=cos(xi):
cos(0)=1, cosl(tfracpi8r)approx0.9239, cosl(tfracpi4r)=0.7071, cosl(tfrac3pi8r)approx0.3827 A soma de Riemann à esquerda neste subintervalo é
S1=sumi=0^3f(xi),De

Passo 4

No intervalo [pi/2,pi] os pontos à esquerda são
xi=pi2,;5pi8,;3pi4,;7pi8 As alturas (em valor absoluto, pois cos(x) é negativa aqui) são
|cos(tfracpi2)|=0,;|cos(tfrac5pi8)|approx0.3827,;|cos(tfrac3pi4)|=0.7071,;|cos(tfrac7pi8)|approx0.9239 A soma de Riemann à esquerda (área positiva) neste subintervalo é
S2=sumi=0^3|f(xi)|,De

Passo 5

Somando as duas aproximações obtemos a área total aproximada:
Aapprox S1+S2approx1.1835+0.7906=1.9741

Resposta

Aproximação da área entre o gráfico de cos(x) e o eixo x em [0,π] usando as duas somas de Riemann à esquerda (4 retângulos em cada) é aproximadamente 1,9741.

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