Scja Q=mn rvert, m in Z e n in N. Sabendo que raiz2 notin Q, prove que para todo r in Q, temos que r+raiz2 notin Q.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos o conjunto dos números racionais Q, que são todas as frações mn onde m é um número inteiro e n é um número natural (positivo). Sabemos que raiz2 não é um número racional, ou seja, não pode ser escrito como uma fração dessas. O que precisamos provar é que se você pegar qualquer número racional r e somar com raiz2, o resultado r + raiz2 também não será um número racional. Para resolver isso, vamos usar propriedades básicas dos números racionais e irracionais.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que existe um número racional r tal que r + raiz2 também é racional. Vamos chegar a uma contradição com essa suposição.

Passo 3

Seja r = ab, onde a e b são inteiros e b neq 0. Nossa suposição é que r + raiz2 também é racional, digamos r + raiz2 = cd, onde c e d são inteiros e d neq 0.

Passo 4

Vamos isolar raiz2 na equação:
raiz2 = cd - ab = cb - adbd
Aqui, cb - adbd é uma fração de dois inteiros, o que significa que raiz2 seria racional.

Passo 5

No entanto, isso contradiz o fato que sabemos de antemão: raiz2 não é um número racional. Portanto, nossa suposição de que r + raiz2 é racional deve estar errada.

Passo 6

Assim, concluímos que para qualquer r in Q, a soma r + raiz2 não pertence a Q.

Resposta

Para todo número racional r, a soma r + raiz2 não é um número racional.

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