Dado
, prove por indução finita que:
Passo 1
Então, temos que provar que para qualquer número real
, a seguinte igualdade vale para todo
:
Vamos usar o princípio da indução matemática para mostrar que isso é verdadeiro para todo número natural
. Primeiro, precisamos entender o que é indução matemática: é uma técnica que nos permite provar uma afirmação para todos os números naturais, mostrando que é verdadeira para o caso base e que, se for verdadeira para um caso qualquer
, também será para
.
Passo 2
Caso Base (
):
Vamos verificar se a igualdade funciona quando
.
Substituindo
na expressão:
Agora, verificando o lado direito da igualdade para
:
Aqui percebemos que há uma incongruência. Isso indica que o caso base correto deve ser
. Vamos corrigir isso.
Correção do Caso Base (
):
Substituindo
na expressão:
Verificando o lado direito para
:
Como ambos os lados são iguais (
), o caso base está correto para
.
Passo 3
Passo Indutivo:
Vamos supor que a igualdade seja verdadeira para algum número natural
, ou seja:
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, precisamos provar que a igualdade também vale para
, ou seja:
Vamos calcular o lado esquerdo para
:
Podemos reescrever
como
:
Dividindo cada termo pelo denominador:
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que:
Substituindo na expressão:
Vemos que o lado esquerdo se iguala ao lado direito para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a igualdade
é verdadeira para todo número natural
e para todo
.