Dado alpha in R, prove por indução finita que:
x^n+1-alpha^n+1x-alpha=x^n+x^n-1 alpha+cdots+x alpha^n-1+alpha^n, forall x in R e x neq alpha

Passo 1

Então, temos que provar que para qualquer número real alpha, a seguinte igualdade vale para todo x neq alpha:
x^n+1 - alpha^n+1x - alpha = x^n + x^n-1alpha + cdots + x alpha^n-1 + alpha^n
Vamos usar o princípio da indução matemática para mostrar que isso é verdadeiro para todo número natural n. Primeiro, precisamos entender o que é indução matemática: é uma técnica que nos permite provar uma afirmação para todos os números naturais, mostrando que é verdadeira para o caso base e que, se for verdadeira para um caso qualquer k, também será para k+1.

Passo 2

Caso Base ( n=0):
Vamos verificar se a igualdade funciona quando n = 0.
Substituindo n = 0 na expressão:
x^0+1 - alpha^0+1x - alpha = x - alphax - alpha = 1
Agora, verificando o lado direito da igualdade para n=0:
x^0 + alpha^0 = 1 + 1 = 2
Aqui percebemos que há uma incongruência. Isso indica que o caso base correto deve ser n=1. Vamos corrigir isso.
Correção do Caso Base ( n=1):
Substituindo n = 1 na expressão:
x^1+1 - alpha^1+1x - alpha = x^2 - alpha^2x - alpha = x + alpha
Verificando o lado direito para n=1:
x^1 + alpha^1 = x + alpha
Como ambos os lados são iguais ( x + alpha), o caso base está correto para n=1.

Passo 3

Passo Indutivo:
Vamos supor que a igualdade seja verdadeira para algum número natural k, ou seja:
x^k+1 - alpha^k+1x - alpha = x^k + x^k-1alpha + cdots + x alpha^k-1 + alpha^k
Essa é a nossa hipótese de indução. Agora, precisamos provar que a igualdade também vale para n = k + 1, ou seja:
x^(k+1)+1 - alpha^(k+1)+1x - alpha = x^k+1 + x^kalpha + cdots + x alpha^k + alpha^k+1
Vamos calcular o lado esquerdo para n = k + 1:
x^k+2 - alpha^k+2x - alpha
Podemos reescrever x^k+2 - alpha^k+2 como x^k+2 - alpha x^k+1 + alpha x^k+1 - alpha^k+2:
(x^k+2 - alpha x^k+1) + (alpha x^k+1 - alpha^k+2)x - alpha = x^k+1(x - alpha) + alpha(x^k+1 - alpha^k+1)x - alpha
Dividindo cada termo pelo denominador:
x^k+1 + alpha ( x^k+1 - alpha^k+1x - alpha )
Pela nossa hipótese de indução, sabemos que:
x^k+1 - alpha^k+1x - alpha = x^k + x^k-1alpha + cdots + x alpha^k-1 + alpha^k
Substituindo na expressão:
x^k+1 + alpha ( x^k + x^k-1alpha + cdots + x alpha^k-1 + alpha^k ) = x^k+1 + x^kalpha + cdots + x alpha^k + alpha^k+1
Vemos que o lado esquerdo se iguala ao lado direito para n = k + 1.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a igualdade
x^n+1 - alpha^n+1x - alpha = x^n + x^n-1alpha + cdots + x alpha^n-1 + alpha^n
é verdadeira para todo número natural n >= 1 e para todo x neq alpha.

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