Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica
(ITA) Seja \left(a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots\right) uma progressão geométrica de razão a_{1}, onde 0<a_{1}<1 e cuja soma a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots=3 a_{1}. Determine a soma dos três primeiros termos da PG.

Passo 1

Quais são os dados e o que o enunciado pede?
  • Foi dada uma sequência \left(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots\right) que é uma progressão geométrica (PG).
  • A razão da PG é \,a_{1}\, (ou seja, r=a_{1}).
  • Sabe-se que 0<a_{1}<1.
  • A soma infinita da PG satisfaz \,a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots=3a_{1}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a soma dos três primeiros termos da PG, isto é calcular \,a_{1}+a_{2}+a_{3}.

Passo 2

Fórmula da soma de uma série geométrica infinita e suas condições (explicação didática).
Considere uma PG de primeiro termo a e razão r, com |r|<1. A soma infinita é
S_\infty = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots.
Para obter a fórmula, faça o truque clássico: multiplique a soma por r e subtraia:
\begin{aligned} S_\infty &= a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots,\\\ rS_\infty &= ar + ar^2 + ar^3 + \cdots. \end{aligned}
Subtraindo ambas as igualdades:
S_\infty - rS_\infty = a,
ou seja
S_\infty(1-r)=a.
Como |r|<1, tem-se 1-r\neq0 e portanto
S_\infty=\frac{a}{1-r}.
Aqui a é o primeiro termo e r é a razão; a condição |r|<1 garante que a soma infinita converge.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso problema.
No problema, o primeiro termo é a_{1} e a razão é r=a_{1}. Pela fórmula da soma infinita (vigente porque 0<a_{1}<1\Rightarrow |r|<1),
a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots = \frac{a_{1}}{1-a_{1}}.
O enunciado afirma que essa soma vale 3a_{1}. Assim temos a equação
\frac{a_{1}}{1-a_{1}} = 3a_{1}.

Passo 4

Resolver a equação para a_{1}, explicando cada passo.
A equação é
\frac{a_{1}}{1-a_{1}} = 3a_{1}.
Como 0<a_{1}<1, em particular a_{1}\neq0, podemos dividir ambos os lados por a_{1} sem problemas (justificando a operação). Fazendo isso:
\frac{1}{1-a_{1}} = 3.
Agora isolamos a_{1}. Invertendo ambos os lados ou resolvendo:
1 = 3(1-a_{1}) = 3 - 3a_{1}.
Então
3a_{1} = 3 - 1 = 2,
portanto
a_{1} = \frac{2}{3}.
Verificação da condição: \frac{2}{3} satisfaz 0<a_{1}<1, então é válido.

Passo 5

Expressar os três primeiros termos em função de a_{1} e calcular explicitamente.
Em uma PG com primeiro termo a_{1} e razão r=a_{1}, os termos são:
a_{1},\quad a_{2}=a_{1}r=a_{1}^2,\quad a_{3}=a_{1}r^2=a_{1}^3.
A soma dos três primeiros é
a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}+a_{1}^2+a_{1}^3.
Também pode-se usar a fórmula da soma finita de n termos de uma PG:
S_n = a_{1}\frac{1-r^n}{1-r}.
Para n=3 e r=a_{1},
a_{1}+a_{1}^2+a_{1}^3 = a_{1}\frac{1-a_{1}^3}{1-a_{1}}.

Passo 6

Substituir a_{1}=\dfrac{2}{3} e calcular a soma dos três primeiros termos com contas “mastigadas”.
Usando a forma direta:
a_{1}+a_{1}^2+a_{1}^3 = \frac{2}{3} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^3.
Calcule cada potência:
\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9},\qquad \left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}.
Colocando tudo com denominador comum 27:
\frac{2}{3} = \frac{18}{27},\quad \frac{4}{9}=\frac{12}{27},\quad \frac{8}{27}=\frac{8}{27}.
Somando numeradores:
18 + 12 + 8 = 38.
Logo
a_{1}+a_{2}+a_{3} = \frac{38}{27}.

Resposta

\dfrac{38}{27}

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