Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica
(ITA) Seja
uma progressão geométrica de razão
, onde
e cuja soma
. Determine a soma dos três primeiros termos da PG.
Série Geométrica
(ITA) Seja
Passo 1
Quais são os dados e o que o enunciado pede?
- Foi dada uma sequência
que é uma progressão geométrica (PG). - A razão da PG é
(ou seja, ). - Sabe-se que
. - A soma infinita da PG satisfaz
O que o enunciado pede:
- Determinar a soma dos três primeiros termos da PG, isto é calcular
Passo 2
Fórmula da soma de uma série geométrica infinita e suas condições (explicação didática).
Considere uma PG de primeiro termo
e razão
, com
. A soma infinita é
Para obter a fórmula, faça o truque clássico: multiplique a soma por
e subtraia:
Subtraindo ambas as igualdades:
ou seja
Como
, tem-se
e portanto
Aqui
é o primeiro termo e
é a razão; a condição
garante que a soma infinita converge.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso problema.
No problema, o primeiro termo é
e a razão é
. Pela fórmula da soma infinita (vigente porque
),
O enunciado afirma que essa soma vale
. Assim temos a equação
Passo 4
Resolver a equação para
, explicando cada passo.
A equação é
Como
, em particular
, podemos dividir ambos os lados por
sem problemas (justificando a operação). Fazendo isso:
Agora isolamos
. Invertendo ambos os lados ou resolvendo:
Então
portanto
Verificação da condição:
satisfaz
, então é válido.
Passo 5
Expressar os três primeiros termos em função de
e calcular explicitamente.
Em uma PG com primeiro termo
e razão
, os termos são:
A soma dos três primeiros é
Também pode-se usar a fórmula da soma finita de
termos de uma PG:
Para
e
,
Passo 6
Substituir
e calcular a soma dos três primeiros termos com contas “mastigadas”.
Usando a forma direta:
Calcule cada potência:
Colocando tudo com denominador comum
:
Somando numeradores:
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