Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{3 n+1}}{\sqrt{100^{n}}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Série dada: \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{3 n+1}}{\sqrt{100^{n}}}.
  • Pergunta: determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se for possível).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo geral da série, passo a passo, para enxergar sua forma.
  • A raiz quadrada de 100^{n} pode ser escrita como potência:
\sqrt{100^{n}} = (100^{n})^{1/2} = 100^{n/2}.
  • Como 100 = 10^{2}, temos
100^{n/2} = (10^{2})^{n/2} = 10^{n}.
  • Portanto o termo geral fica
\frac{2^{3n+1}}{\sqrt{100^{n}}} = \frac{2^{3n+1}}{10^{n}}.

Passo 3

Continuando a simplificação da potência no numerador:
  • Escreve-se 2^{3n+1} = 2^{1}\cdot 2^{3n} = 2\cdot(2^{3})^{n}.
  • Como 2^{3}=8, resulta
2^{3n+1} = 2\cdot 8^{n}.
  • Substituindo no termo geral:
\frac{2^{3n+1}}{10^{n}} = \frac{2\cdot 8^{n}}{10^{n}} = 2\cdot\left(\frac{8}{10}\right)^{n}.
  • Simplificando a fração \dfrac{8}{10}=\dfrac{4}{5}, obtemos o termo
2\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^{n}.

Passo 4

Agora reconhecemos o tipo da série: é uma série geométrica (cada termo é uma constante vezes r^{n}).
  • Uma série geométrica básica pode ser escrita como \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a\,r^{n} ou \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a\,r^{n}.
  • Critério de convergência: a série geométrica \sum r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso a soma é conhecida.
  • Fórmula da soma (uma derivação curta): para \displaystyle S_N=\sum_{n=0}^{N} r^{n} tem-se
S_N=\frac{1-r^{N+1}}{1-r}\quad\text{(para }r\neq1\text{)}.
Tomando N\to\infty, se |r|<1 então r^{N+1}\to0 e
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\frac{1}{1-r}.
Logo, para somas que começam em n=1 vale
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}.

Passo 5

Aplicando isso ao nosso caso:
  • Reescrevemos a série como
\sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\frac{4}{5}\right)^{n} = 2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^{n}.
  • Aqui o termo comum da geométrica tem razão r=\dfrac{4}{5}. Note que |r|=\dfrac{4}{5}<1, portanto a série converge.
  • Usando a fórmula \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}, obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{4}{5}\right)^{n}=\frac{\tfrac{4}{5}}{1-\tfrac{4}{5}}=\frac{\tfrac{4}{5}}{\tfrac{1}{5}}=4.
  • Multiplicando pelo fator 2:
2\cdot 4 = 8.

Passo 6

Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
  • Simplifique potências e raízes para ver se o termo se reduz a C\cdot r^{n}.
  • Verifique |r|<1 para convergência.
  • Use \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\dfrac{r}{1-r} ou \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} r^{n}=\dfrac{1}{1-r} para calcular a soma.

Resposta

Converge, soma =8

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