Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Série Geométrica
.
Série Geométrica
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Série dada:
. - Pergunta: determinar se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se for possível).
Passo 2
Primeiro vamos simplificar o termo geral da série, passo a passo, para enxergar sua forma.
- A raiz quadrada de
pode ser escrita como potência:
- Como
, temos
- Portanto o termo geral fica
Passo 3
Continuando a simplificação da potência no numerador:
- Escreve-se
. - Como
, resulta
- Substituindo no termo geral:
- Simplificando a fração
, obtemos o termo
Passo 4
Agora reconhecemos o tipo da série: é uma série geométrica (cada termo é uma constante vezes
).
- Uma série geométrica básica pode ser escrita como
ou . - Critério de convergência: a série geométrica
converge se, e somente se, . Nesse caso a soma é conhecida. - Fórmula da soma (uma derivação curta): para
tem-se
Tomando
, se
então
e
Logo, para somas que começam em
vale
Passo 5
Aplicando isso ao nosso caso:
- Reescrevemos a série como
- Aqui o termo comum da geométrica tem razão
. Note que , portanto a série converge. - Usando a fórmula
, obtemos
- Multiplicando pelo fator
:
Passo 6
Resumo didático rápido (como lembrar na prova):
- Simplifique potências e raízes para ver se o termo se reduz a
. - Verifique
para convergência. - Use
ou para calcular a soma.
Resposta
Converge, soma