Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da divergência (limite do termo geral).
\sum_{n=1}^{+\infty} \cos \left(\frac{1}{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível).
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right).
  • A soma é de n=1 até n\to\infty.
O que se pede:
  • Determinar convergência ou divergência da série.
  • Se convergente, obter a soma.

Passo 2

Apresentar o teste que vamos usar: o teste da divergência (teste do termo geral).
Enunciado do teste (e prova curta, muito útil na prova):
Se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral satisfaz
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
Prova curta: se S_n=\sum_{k=1}^{n} a_k converge para S, então
a_n = S_n - S_{n-1}.
Como S_n\to S e S_{n-1}\to S, segue a_n\to S-S=0. Logo, um teste rápido: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 então a série diverge.
Observação didática: esse teste é necessário mas não suficiente — isto é, \lim a_n=0 não garante convergência; porém \lim a_n\neq0 garante divergência imediatamente. É o primeiro cheque que sempre se faz numa prova.

Passo 3

Calcular o limite do termo geral a_n=\cos\!\left(\frac{1}{n}\right).
Primeiro note que
\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0.
A função \cos(x) é contínua em todo \mathbb{R}. Para funções contínuas vale a propriedade de limites por composição: se x_n\to L e f é contínua em L, então f(x_n)\to f(L). Aplicando isso com x_n=\frac{1}{n}, L=0 e f=\cos, obtemos
\lim_{n\to\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right) = \cos(0) = 1.
Comentário intuitivo: conforme n cresce, \tfrac{1}{n} vai para 0, e \cos de valores próximos de 0 é próximo de 1; portanto os termos da série ficam cada vez próximos de 1.

Passo 4

Aplicar o teste da divergência.
Encontramos
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \cos\!\left(\frac{1}{n}\right) = 1 \neq 0.
Pelo teste da divergência, se o limite do termo geral não é zero, a série não converge. Portanto a série diverge.
Observação adicional e motivadora: muito provavelmente na prova você já pode encerrar daqui — sempre confira primeiro o limite do termo geral. Se ele não for zero, não precisa de testes mais sofisticados (raiz, razão, comparação, integral etc.). Vai devagar que tu consegue — esse é o tipo de cheque rápido que salva tempo.

Resposta

Divergente, pois \lim_{n\to\infty}\cos\!\left(\frac{1}{n}\right)=1\neq0.

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