Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da divergência (limite do termo geral).
.
Teste da divergência (limite do termo geral).
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma (se possível).
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A soma é de
até .
O que se pede:
- Determinar convergência ou divergência da série.
- Se convergente, obter a soma.
Passo 2
Apresentar o teste que vamos usar: o teste da divergência (teste do termo geral).
Enunciado do teste (e prova curta, muito útil na prova):
Se a série converge, então o termo geral satisfaz
Se a série
Prova curta: se
converge para
, então
Como
e
, segue
. Logo, um teste rápido: se
então a série diverge.
Observação didática: esse teste é necessário mas não suficiente — isto é,
não garante convergência; porém
garante divergência imediatamente. É o primeiro cheque que sempre se faz numa prova.
Passo 3
Calcular o limite do termo geral
.
Primeiro note que
A função
é contínua em todo
. Para funções contínuas vale a propriedade de limites por composição: se
e
é contínua em
, então
. Aplicando isso com
,
e
, obtemos
Comentário intuitivo: conforme
cresce,
vai para
, e
de valores próximos de
é próximo de
; portanto os termos da série ficam cada vez próximos de
.
Passo 4
Aplicar o teste da divergência.
Encontramos
Pelo teste da divergência, se o limite do termo geral não é zero, a série não converge. Portanto a série diverge.
Observação adicional e motivadora: muito provavelmente na prova você já pode encerrar daqui — sempre confira primeiro o limite do termo geral. Se ele não for zero, não precisa de testes mais sofisticados (raiz, razão, comparação, integral etc.). Vai devagar que tu consegue — esse é o tipo de cheque rápido que salva tempo.
Resposta
Divergente, pois
.