Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n-1}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n-1}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a sua soma, se possível.
Informações dadas:
  • Termo geral: \dfrac{3}{2^{n-1}}.
  • Índice de somação: n=1,2,3,\dots.
Perguntas explícitas:
  1. A série converge ou diverge?
  2. Se converge, qual é a soma da série?

Passo 2

Primeiro, vou reescrever o termo geral de forma mais familiar. Note que
\frac{3}{2^{n-1}} = 3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.
Isso mostra que a série é uma série geométrica multiplicada por 3. Vou usar essa observação para aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 3

Lembrete sobre série geométrica (aula curta):
  • Uma série geométrica tem a forma
\sum_{n=0}^{+\infty} a r^n,
onde a é o primeiro termo (quando somamos a partir de n=0) e r é a razão comum.
  • Condição de convergência: a série geométrica converge se, e só se, |r|<1.
  • Soma quando converge: se |r|<1, então
\sum_{n=0}^{+\infty} a r^n = \frac{a}{1-r}.
Explicando as letras:
  • a é o valor do primeiro termo (o termo para n=0),
  • r é o fator pelo qual cada termo é multiplicado para obter o próximo termo,
  • A condição |r|<1 garante que os termos vão para 0 suficientemente rápido para que a soma dos infinitos termos tenha limite finito.
Derivação rápida (opcional, só para fixar a ideia):
Seja S_N=\sum_{n=0}^{N} a r^n. Multiplicando por r,
rS_N=\sum_{n=0}^{N} a r^{n+1} = \sum_{n=1}^{N+1} a r^n.
Subtraindo rS_N de S_N obtemos
S_N - rS_N = a - a r^{N+1},
ou seja
S_N(1-r) = a(1-r^{N+1}).
Se |r|<1, então r^{N+1}\to 0 quando N\to\infty, logo S_N\to \dfrac{a}{1-r}.

Passo 4

Volto à nossa série. Repare que, com a reescrita,
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n-1}} = 3\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.
Faço uma mudança de índice conveniente para colocar no formato usual que começa em n=0. Defina k=n-1. Quando n=1 tem k=0, e quando n\to\infty tem k\to\infty. Assim
3\sum_{n=1}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 3\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k}.
Aqui temos uma série geométrica com:
  • a = 1 (primeiro termo, para k=0 temos 1),
  • r = \dfrac{1}{2}.

Passo 5

Verifico a condição de convergência: |r| = \left|\dfrac{1}{2}\right| = \dfrac{1}{2} < 1. Portanto a série geométrica converge.
Aplicando a fórmula da soma para \sum_{k=0}^{+\infty} r^k = \dfrac{1}{1-r}, obtemos
\sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{k} = \frac{1}{1-\tfrac{1}{2}} = \frac{1}{\tfrac{1}{2}} = 2.
Multiplicando pelo fator 3 que estava fora:
3\cdot 2 = 6.

Passo 6

Interpretação final e dica de prova: a série converge porque é geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} (módulo menor que 1); a soma foi calculada usando a fórmula padrão. Observação útil: se a série tivesse começado em n=0 com o mesmo padrão dos expoentes, a soma seria a mesma (diferença de um número finito de termos não altera convergência nem, neste caso, a soma depois de ajustar o índice).

Resposta

Convergente.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n-1}} = 6

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