Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais. \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n-1}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{3}{2^{n-1}}
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a sua soma, se possível.
Informações dadas:
Termo geral: \dfrac{3}{2^{n-1}}.
Índice de somação: n=1,2,3,\dots.
Perguntas explícitas:
A série converge ou diverge?
Se converge, qual é a soma da série?
Passo 2
Primeiro, vou reescrever o termo geral de forma mais familiar. Note que
Faço uma mudança de índice conveniente para colocar no formato usual que começa em n=0. Defina k=n-1. Quando n=1 tem k=0, e quando n\to\infty tem k\to\infty. Assim
Interpretação final e dica de prova: a série converge porque é geométrica com razão r=\tfrac{1}{2} (módulo menor que 1); a soma foi calculada usando a fórmula padrão. Observação útil: se a série tivesse começado em n=0 com o mesmo padrão dos expoentes, a soma seria a mesma (diferença de um número finito de termos não altera convergência nem, neste caso, a soma depois de ajustar o índice).