Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{5}{4^{n}}+\frac{4}{5^{n}}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{5}{4^{n}}+\frac{4}{5^{n}}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma, se for possível.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A série é a soma, para n de 1 a +\infty, dos termos \dfrac{5}{4^{n}}+\dfrac{4}{5^{n}}.
  • Cada termo é a soma de duas parcelas: \dfrac{5}{4^{n}} e \dfrac{4}{5^{n}}.
  • Não há mais dados (por exemplo, nenhuma condição extra sobre n).

Passo 2

Primeira ideia prática (propriedade de séries que vamos usar): séries são lineares. Isso significa duas coisas úteis:
  1. Se \sum a_n e \sum b_n convergirem, então \sum (a_n+b_n) converge e
\sum_{n=1}^\infty (a_n+b_n)=\sum_{n=1}^\infty a_n+\sum_{n=1}^\infty b_n.
  1. Para constante c, se \sum a_n converge então \sum c\,a_n converge e
\sum_{n=1}^\infty c\,a_n = c\sum_{n=1}^\infty a_n.
Vamos usar essas propriedades para separar a série original em duas séries mais simples.

Passo 3

Separe a série em duas:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{4^{n}}+\frac{4}{5^{n}}\right) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{4^{n}} + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{5^{n}}.
Reescrevendo cada parcela como uma constante vezes uma potência, temos
\frac{5}{4^{n}}=5\left(\frac{1}{4}\right)^{n},\qquad \frac{4}{5^{n}}=4\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{4^{n}}=5\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}, \qquad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{5^{n}}=4\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}.

Passo 4

Agora vamos revisar a fórmula da série geométrica (a ferramenta principal aqui). Considere a série geométrica com razão \,r:
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}.
Se r\neq 1, a soma parcial até N é
S_N=\sum_{n=1}^{N} r^{n}=r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Esse resultado vem do truque clássico: calcular S_N e multiplicar por 1-r:
(1-r)S_N = S_N - rS_N = (r + r^{2}+\cdots + r^{N}) - (r^{2}+\cdots + r^{N}+r^{N+1}) = r - r^{N+1},
daí S_N = r\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Para passar ao infinito: se |r|<1 então \lim_{N\to\infty} r^{N}=0. Portanto, para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \lim_{N\to\infty} S_N = \frac{r}{1-r}.
Se |r|\ge 1 a série geométrica diverge. Esse é o critério que vamos aplicar.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao primeiro somatório com r=\dfrac{1}{4}. Observação: \left|\dfrac{1}{4}\right|<1, logo a série é geométrica convergente. Usando a fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}}=\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}}=\frac{1}{3}.
Multiplicando pelo fator 5 que estava à frente:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{4^{n}}=5\cdot\frac{1}{3}=\frac{5}{3}.

Passo 6

Aplicando a fórmula ao segundo somatório com r=\dfrac{1}{5}. Observação: \left|\dfrac{1}{5}\right|<1, então também converge. Usando a fórmula:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{1}{4}.
Multiplicando pelo fator 4:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{5^{n}}=4\cdot\frac{1}{4}=1.

Passo 7

Somando as duas partes (pela linearidade das séries):
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{5}{4^{n}}+\frac{4}{5^{n}}\right) = \frac{5}{3}+1=\frac{5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{8}{3}.
Como obtivemos uma soma finita, a série é convergente. Além disso, cada termo é positivo e as séries geométricas envolvidas são absolutamente convergentes, então não há nenhuma sutileza extra.

Passo 8

Resumo final e um empurrãozinho motivacional: a série se separa em duas geométricas que ambos têm razão em valor absoluto menor que 1, por isso cada uma converge e soma-se facilmente com a fórmula da geométrica. Resultado limpo e rápido — valeu o esforço de separar e aplicar a fórmula!

Resposta

Convergente, soma =\dfrac{8}{3}

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