Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
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04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma quando possível.
Informações dadas:
- O termo geral da série é
para . - Não há outras condições dadas (por exemplo, sinal alternante). Os termos são positivos para todo
.
O que se quer:
- Determinar convergência ou divergência.
- Caso convergente, calcular a soma.
Passo 2
Lembrete importante (teste necessário para convergência):
- Teorema (teste do termo geral): Se a série
converge então necessariamente
- A contrapartida útil: se
(ou não existe), então a série é divergente.
Esse teste é um filtro rápido — se o termo geral não tende a zero, já podemos concluir divergência imediatamente.
Passo 3
Aplicando o teste do termo geral ao nosso caso. Calcular o limite do termo geral:
Sabendo que
(porque
e
) e que
(potência de base maior que
cresce sem limite), temos, pela soma de limites,
Portanto o termo geral não tende a zero; na verdade tende a
.
Passo 4
Pelo teste do termo geral (Passo 2), como
(aqui é
), a série
não pode convergir. Concluímos que a série é divergente.
Passo 5
Comentário adicional didático (útil para a prova):
- Às vezes tenta-se separar a soma em duas séries:
Isso só faz sentido para concluir algo sobre a soma total quando se conhece a convergência de cada parcela. Aqui:
-
é uma série geométrica com razão e soma
(Fórmula: para \(|r|<1\), \(\sum_{n=1}^\infty r^n=\dfrac{r}{1-r}\).)
-
diverge fortemente porque o termo geral não tende a zero (na verdade tende a ), logo essa soma diverge para . - Como uma parcela diverge para
e a outra é finita e não negativa, a soma total diverge para .
Portanto, tanto pelo teste do termo geral quanto pela decomposição em séries conhecidas, a conclusão é a mesma: divergência (explosão para
).
Resposta
Divergente (diverge para
).