Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(2^{-n}+3^{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(2^{-n}+3^{n}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a soma quando possível.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é \;a_n=2^{-n}+3^{n}\; para n=1,2,3,\dots.
  • Não há outras condições dadas (por exemplo, sinal alternante). Os termos são positivos para todo n.
O que se quer:
  • Determinar convergência ou divergência.
  • Caso convergente, calcular a soma.

Passo 2

Lembrete importante (teste necessário para convergência):
  • Teorema (teste do termo geral): Se a série \sum a_n converge então necessariamente
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.
  • A contrapartida útil: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série \sum a_n é divergente.
Esse teste é um filtro rápido — se o termo geral não tende a zero, já podemos concluir divergência imediatamente.

Passo 3

Aplicando o teste do termo geral ao nosso caso. Calcular o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\left(2^{-n}+3^{n}\right).
Sabendo que \lim_{n\to\infty}2^{-n}=0 (porque 2^{-n}=(1/2)^n e |1/2|<1) e que \lim_{n\to\infty}3^{n}=+\infty (potência de base maior que 1 cresce sem limite), temos, pela soma de limites,
\lim_{n\to\infty}\left(2^{-n}+3^{n}\right)=0+{+\infty}={+\infty}.
Portanto o termo geral não tende a zero; na verdade tende a +\infty.

Passo 4

Pelo teste do termo geral (Passo 2), como \lim_{n\to\infty}a_n\neq0 (aqui é +\infty), a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(2^{-n}+3^{n}\right)
não pode convergir. Concluímos que a série é divergente.

Passo 5

Comentário adicional didático (útil para a prova):
  • Às vezes tenta-se separar a soma em duas séries:
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(2^{-n}+3^{n}\right)=\sum_{n=1}^{+\infty}2^{-n}+\sum_{n=1}^{+\infty}3^{n}.
Isso só faz sentido para concluir algo sobre a soma total quando se conhece a convergência de cada parcela. Aqui:
  • \sum_{n=1}^{+\infty}2^{-n} é uma série geométrica com razão r=1/2 e soma
\sum_{n=1}^{+\infty}2^{-n}=\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1.
(Fórmula: para \(|r|<1\), \(\sum_{n=1}^\infty r^n=\dfrac{r}{1-r}\).)
  • \sum_{n=1}^{+\infty}3^{n} diverge fortemente porque o termo geral 3^n não tende a zero (na verdade tende a +\infty), logo essa soma diverge para +\infty.
  • Como uma parcela diverge para +\infty e a outra é finita e não negativa, a soma total diverge para +\infty.
Portanto, tanto pelo teste do termo geral quanto pela decomposição em séries conhecidas, a conclusão é a mesma: divergência (explosão para +\infty).

Resposta

Divergente (diverge para +\infty).

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