Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{7}{n(n+2)}+5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{7}{n(n+2)}+5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right)
é convergente ou divergente. Se for convergente, calcular a sua soma, se possível.
Informações dadas:
  • A série é a soma, para n de 1 a +\infty, de dois termos: \dfrac{7}{n(n+2)} e 5\left(\dfrac{2}{3}\right)^n.
  • O que se pede:
    • Verificar convergência da série completa.
    • Se convergente, calcular a soma \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{7}{n(n+2)}+5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).

Passo 2

Plano de resolução (sem ainda executar cálculos): usar a propriedade linear das séries para escrever a série dada como soma de duas séries separadas:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{n(n+2)}\quad\text{e}\quad\sum_{n=1}^{\infty}5\left(\frac{2}{3}\right)^n.
Justificativa do plano:
  • Se cada uma dessas duas séries for convergente, então a série original é convergente e sua soma é a soma das somas parciais (propriedade de linearidade de séries convergentes).
  • A primeira série tem formato que sugere decomposição em frações parciais e telescópico.
  • A segunda série é claramente uma série geométrica (fator \left(\dfrac{2}{3}\right)^n), cuja soma é conhecida quando |r|<1.
    Logo, vou estudar cada uma separadamente, mostrando os detalhes.

Passo 3

Analisar a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{n(n+2)}.
  1. Decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que, para todo n,
\frac{7}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) obtemos
7 = A(n+2)+Bn = (A+B)n + 2A.
Igualando coeficientes (polinômio em n):
A+B=0,\qquad 2A=7.
Da segunda equação A=\dfrac{7}{2}. Então B=-A=-\dfrac{7}{2}.
  1. Reescrevendo o termo geral:
\frac{7}{n(n+2)}=\frac{7}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
  1. Somatório parcial e telescópico. Seja S_{1,N} a soma dos primeiros N termos desta série:
S_{1,N}=\sum_{n=1}^{N}\frac{7}{n(n+2)}=\frac{7}{2}\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right).
Esse somatório telescopa: escrevendo alguns termos,
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right) = \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{N}\right) - \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{N+2}\right).
Cancelam-se muitos termos; sobra
\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}\right)=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{N+1}-\frac{1}{N+2}.
  1. Tomando o limite quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty}S_{1,N}=\frac{7}{2}\left(1+\frac{1}{2}-0-0\right) =\frac{7}{2}\cdot\frac{3}{2}=\frac{21}{4}.
Portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{n(n+2)} converge e sua soma é \dfrac{21}{4}.
Observação didática rápida: o telescópio funciona porque cada termo \dfrac{1}{n} aparece com sinal positivo em uma parcela e com sinal negativo duas posições depois, provocando cancelamentos massivos; isso facilita encontrar a soma da série quando a decomposição em frações parciais tem essa forma.

Passo 4

Analisar a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}5\left(\frac{2}{3}\right)^n.
  1. Identificar que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem forma \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n} (ou \sum_{n=0}^\infty ar^n); no nosso caso a=5 e r=\dfrac{2}{3}.
  2. Condição de convergência: uma série geométrica \sum r^n converge se e somente se |r|<1, e então
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aqui |r|=\left|\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}<1, logo a série converge.
  1. Calcular a soma:
\sum_{n=1}^{\infty}5\left(\frac{2}{3}\right)^n =5\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n =5\cdot\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}} =5\cdot\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}} =5\cdot 2 = 10.

Passo 5

Combinar as duas somas. Como cada uma das duas séries separadas converge (mostrado nos passos anteriores), a soma da série original é a soma das somas:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{7}{n(n+2)}+5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right) = \frac{21}{4} + 10.
Calcular:
\frac{21}{4}+10=\frac{21}{4}+\frac{40}{4}=\frac{61}{4}.

Passo 6

Conclusão sobre convergência (resumo e pequena motivação): ambas as partes são convergentes (a primeira por telescópico/frações parciais, a segunda por ser geométrica com |r|<1), logo a série original é convergente. A soma encontrada é \dfrac{61}{4}. Coragem aí — estava complicado no início, mas telescópico + geométrica é um clássico e resolve rápido!

Resposta

Convergente, soma = \frac{61}{4}

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