Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
04 Propriedades de séries: soma, subtração e multiplicação por número e igualdade de convergência quando diferem apenas por um número finito de termos iniciais. \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{7}{n(n+2)}+5\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\right).
Se cada uma dessas duas séries for convergente, então a série original é convergente e sua soma é a soma das somas parciais (propriedade de linearidade de séries convergentes).
A primeira série tem formato que sugere decomposição em frações parciais e telescópico.
A segunda série é claramente uma série geométrica (fator \left(\dfrac{2}{3}\right)^n), cuja soma é conhecida quando |r|<1.
Logo, vou estudar cada uma separadamente, mostrando os detalhes.
Passo 3
Analisar a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{n(n+2)}.
Decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que, para todo n,
\frac{7}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+2) obtemos
7 = A(n+2)+Bn = (A+B)n + 2A.
Igualando coeficientes (polinômio em n):
A+B=0,\qquad 2A=7.
Da segunda equação A=\dfrac{7}{2}. Então B=-A=-\dfrac{7}{2}.
Portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{7}{n(n+2)} converge e sua soma é \dfrac{21}{4}.
Observação didática rápida: o telescópio funciona porque cada termo \dfrac{1}{n} aparece com sinal positivo em uma parcela e com sinal negativo duas posições depois, provocando cancelamentos massivos; isso facilita encontrar a soma da série quando a decomposição em frações parciais tem essa forma.
Passo 4
Analisar a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}5\left(\frac{2}{3}\right)^n.
Identificar que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem forma \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n} (ou \sum_{n=0}^\infty ar^n); no nosso caso a=5 e r=\dfrac{2}{3}.
Condição de convergência: uma série geométrica \sum r^n converge se e somente se |r|<1, e então
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}=\frac{r}{1-r}.
Aqui |r|=\left|\dfrac{2}{3}\right|=\dfrac{2}{3}<1, logo a série converge.
Combinar as duas somas. Como cada uma das duas séries separadas converge (mostrado nos passos anteriores), a soma da série original é a soma das somas:
Conclusão sobre convergência (resumo e pequena motivação): ambas as partes são convergentes (a primeira por telescópico/frações parciais, a segunda por ser geométrica com |r|<1), logo a série original é convergente. A soma encontrada é \dfrac{61}{4}. Coragem aí — estava complicado no início, mas telescópico + geométrica é um clássico e resolve rápido!