Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Verifique se a série é: absolutamente convergente, convergente, condicionalmente convergente ou divergente. \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{2 n}.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}
e determinar se ela é: absolutamente convergente, convergente (condicionalmente) ou divergente. Se for convergente, calcular a soma quando possível.
Informações dadas:
O termo geral da série é (-1)^{n+1}\dfrac{1}{2n} para n=1,2,\dots.
A série é alternante (sinais alternam entre positivo e negativo).
Precisa-se classificar o tipo de convergência e, se possível, obter a soma.
Passo 2
Vou escolher métodos naturais para este tipo de série:
Para testar convergência (simplesmente) de séries alternantes, usar o Critério de Leibniz (teste da série alternante): se os termos positivos a_n satisfazem a_{n+1}\le a_n e \lim_{n\to\infty}a_n=0, então \sum (-1)^{n} a_n converge.
Para testar convergência absoluta, considerar a série dos valores absolutos \sum |a_n|. Se \sum |a_n| converge, a série é absolutamente convergente; se \sum |a_n| diverge mas a série original converge, ela é condicionalmente convergente.
Para calcular a soma, reconhecer que se fatorarmos \tfrac{1}{2} fora, sobra a série alternada harmônica \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\dfrac{1}{n}, cuja soma conhecida é \ln 2. Vou justificar essa igualdade usando a série de Taylor (Maclaurin) de \ln(1+x).
Antes de aplicar, explico com calma cada conceito usado:
Critério de Leibniz: para uma série alternante \sum (-1)^{n} a_n com a_n\ge0, se a_n é monótona não crescente e a_n\to0, então a série converge. Isso dá uma maneira prática de checar convergência sem calcular a soma.
Convergência absoluta: significa que \sum |a_n| converge. Se não converge mas a série original converge, chamamos de convergência condicional.
Para x=1 a série do lado direito é a série alternada harmônica; por convergência do lado direito (pelo critério de Leibniz) e por continuidade do \ln em x=1, a soma é \ln 2.
Passo 3
Aplicando o Critério de Leibniz à nossa série:
Tome a_n=\dfrac{1}{2n}. Observação: a_n\ge0 para todo n.
Monotonicidade: verificar que a_{n+1}\le a_n.a_{n+1}=\frac{1}{2(n+1)}<\frac{1}{2n}=a_n,pois n+1>n. Logo (a_n) é estritamente decrescente.
Limite dos termos:\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n}=0.
Como a_n é não crescente (na prática decrescente) e tende a zero, pelo Critério de Leibniz a série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}
converge.
Passo 4
Testando a convergência absoluta:
Considere a série dos valores absolutos:\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} é a série harmônica e é conhecida por divergir. Um argumento clássico (agrupamento) mostra a divergência:1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdotsagrupe assim:1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right)+\cdotsem cada grupo a soma é maior ou igual a k\cdot\frac{1}{2^k} para o k-ésimo grupo, que dá uma soma infinita (mais diretamente, cada grupo é pelo menos 1/2, somando infinitos 1/2 diverge). Portanto a série harmônica diverge e, multiplicada por \tfrac{1}{2}, também diverge.
Conclusão: \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n} diverge, logo a série dos valores absolutos diverge. Portanto a série original não é absolutamente convergente.
Passo 5
Como a série converge (Passo 3) mas não converge absolutamente (Passo 4), concluímos que ela é convergente condicionalmente (ou seja, convergência condicional).
Explicando em palavras simples: os sinais alternados “forçam” a soma a se estabilizar (Leibniz), mas se você tirar os sinais e somar os tamanhos dos termos a série cresce sem parar (diverge), então a convergência depende dos sinais — por isso é condicional.
Passo 6
Cálculo da soma (quando possível):
Note que se fatorarmos \tfrac{1}{2} da série original obtemos:\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.
A série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\dfrac{1}{n} é a série alternada harmônica. Podemos obter sua soma usando a série de Taylor de \ln(1+x). Para |x|<1,\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}.Essa igualdade pode ser obtida integrando a série geométrica \dfrac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^n em |x|<1.
Tomando x=1 e usando o fato de que a série do lado direito converge (é alternante com termos decrescentes para x=1), obtemos\ln 2=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{n}.
Portanto a nossa soma é\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}\ln 2.
Passo 7
Resumo lógico:
A série converge pelo Critério de Leibniz.
Não converge absolutamente porque a série dos módulos é \tfrac{1}{2} vezes a série harmônica, que diverge.
Logo a convergência é condicional.
A soma pode ser calculada e vale \tfrac{1}{2}\ln 2.