Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Razão.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{n}{2^{n}}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{2^{n}}
é convergente ou divergente e, caso seja convergente, calcular a sua soma (se possível).
Informações fornecidas:
  • Termo geral da série: \,a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{n}{2^{n}}\,.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • Não há outras informações externas; tudo necessário está no termo geral acima.

Passo 2

Vamos aplicar o Teste da Razão (também chamado de Critério da Razão) para verificar convergência absoluta.
Explicando o Teste da Razão de forma direta e útil:
  • Para uma série de termos a_n, considere L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui usaremos |a_n|=\dfrac{n}{2^{n}}. Vamos calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n+1}{2^{\,n+1}}}{\dfrac{n}{2^{n}}}.
Agora simplifico a fração passo a passo para ficar claro como fazer na prova.

Passo 3

Simplificação do quociente:
\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|} = \frac{n+1}{2^{\,n+1}}\cdot\frac{2^{n}}{n} = \frac{n+1}{2n}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Interpretação do resultado do Teste da Razão:
  • Encontramos L=\dfrac{1}{2}<1.
  • Pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente.
  • Convergência absoluta implica convergência da série original (mesmo sendo alternada).
Breve explicação didática sobre “convergência absoluta”:
  • Dizer que a série converge absolutamente significa que a série dos valores absolutos
\sum_{n=1}^\infty |a_n| = \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}
converge. Isso é um critério forte: se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge.

Passo 5

Agora vamos calcular a soma, usando uma técnica padrão com séries de potências.
Fórmula útil (e como obtê-la):
  • A série geométrica básica é, para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
  • Diferenciando termo a termo com respeito a x (isso é permitido para |x|<1), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
  • Multiplicando por x vem
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Nessas fórmulas, x é a variável da série de potências e a condição |x|<1 garante convergência e validade das operações.

Passo 6

Relacionando com a nossa série:
  • Observe que (-1)^{n+1}\dfrac{n}{2^{n}} = - n\left(\!-\tfrac{1}{2}\right)^{n}. Para ver isso: \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n}},então (-1)^{n+1}\frac{n}{2^{n}} = -\,n\cdot\frac{(-1)^{n}}{2^{n}} = -\,n\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
  • Assim a série fica
S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{2^{n}} = -\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n},
onde tomamos x=-\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Usando a fórmula da Passo 5 com x=-\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},
portanto
S = -\frac{x}{(1-x)^{2}} \quad\text{com}\quad x=-\tfrac{1}{2}.
Calculo explícito:
1-x = 1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right) = 1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2},
(1-x)^{2}=\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}=\tfrac{9}{4},
-\,x = -\left(-\tfrac{1}{2}\right)=\tfrac{1}{2}.
Logo
S = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{9}{4}}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}=\frac{2}{9}.

Passo 8

Conclusão final (recapitulando de forma motivadora):
  • Pelo Teste da Razão a série converge absolutamente porque o limite da razão dos termos em módulo é \tfrac{1}{2}<1.
  • Usando manipulação de séries de potências (diferença da série geométrica) encontramos a soma exata da série: \dfrac{2}{9}.

Resposta

Converge absolutamente.
Soma: \dfrac{2}{9}

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