Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Razão.
\sum_{n=1}{+\infty}(-1){n+1} \frac{n}{2^{n}}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{2^{n}}
é convergente ou divergente e, caso seja convergente, calcular a sua soma (se possível).
Informações fornecidas:
Termo geral da série: \,a_n = (-1)^{n+1}\dfrac{n}{2^{n}}\,.
A série é alternada por causa do fator (-1)^{n+1}.
Não há outras informações externas; tudo necessário está no termo geral acima.
Passo 2
Vamos aplicar o Teste da Razão (também chamado de Critério da Razão) para verificar convergência absoluta.
Explicando o Teste da Razão de forma direta e útil:
Para uma série de termos a_n, considere L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|.
Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
converge. Isso é um critério forte: se \sum |a_n| converge então \sum a_n também converge.
Passo 5
Agora vamos calcular a soma, usando uma técnica padrão com séries de potências.
Fórmula útil (e como obtê-la):
A série geométrica básica é, para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Diferenciando termo a termo com respeito a x (isso é permitido para |x|<1), obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando por x vem
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}}.
Nessas fórmulas, x é a variável da série de potências e a condição |x|<1 garante convergência e validade das operações.
Passo 6
Relacionando com a nossa série:
Observe que (-1)^{n+1}\dfrac{n}{2^{n}} = - n\left(\!-\tfrac{1}{2}\right)^{n}. Para ver isso:\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{n}},então(-1)^{n+1}\frac{n}{2^{n}} = -\,n\cdot\frac{(-1)^{n}}{2^{n}} = -\,n\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n}.
Assim a série fica
S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{2^{n}} = -\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n},
onde tomamos x=-\tfrac{1}{2}.
Passo 7
Usando a fórmula da Passo 5 com x=-\tfrac{1}{2}:
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},
portanto
S = -\frac{x}{(1-x)^{2}} \quad\text{com}\quad x=-\tfrac{1}{2}.