Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Verifique se a série é: absolutamente convergente, convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
.
Verifique se a série é: absolutamente convergente, convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede:
- Verificar se a série converge ou diverge.
- Se convergir, dizer se converge absolutamente ou condicionalmente e, quando possível, calcular a soma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
com . - A série é alternada por causa do fator
. - O expoente de
em é , ou seja, é uma série do tipo com .
Passo 2
Definição e teste de convergência absoluta (o que é e como testar).
- Uma série
é absolutamente convergente se a série de termos positivos converge. - No nosso caso
. Então verificar a convergência absoluta equivale a estudar a série p
- Conhecimento útil (p-série): a série
converge se, e somente se, ; diverge se . - Aqui
, portanto a série diverge.
Conclusão deste passo: a série original não é absolutamente convergente.
Passo 3
Demonstração da divergência da série de módulos por um teste concreto (teste da integral), para fixar a ideia.
- Considere
para . É positiva e decrescente. - Aplicando o teste da integral:
- Como a integral diverge, a série
diverge também.
Isso reforça que não há convergência absoluta.
Passo 4
Teste da série alternada (Teste de Leibniz) para verificar convergência condicional.
- Enunciado do teste de Leibniz (alternating series test): se
é uma sequência de números positivos tal que -
é monotonicamente decrescente a partir de algum , -
,
então a sérieconverge.
-
- Aplicando ao nosso caso com
: - Mostrar que
é decrescente: considere para . Calcula-se a derivada
portanto é estritamente decrescente e, em particular, a sequência é decrescente.
2. Mostrar que: claramente porque o denominador cresce sem limite. - Mostrar que
- Assim, ambas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas. Conclusão: a série alternada
converge.
Passo 5
Interpretação final e comentário sobre a soma da série.
- Juntando os resultados: a série converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (já que
diverge). Portanto a convergência é condicional. - Sobre a soma: não existe uma expressão elementar simples para
Uma representação natural é via função eta de Dirichlet
. Reescrevendo,
Isto dá uma forma compacta, mas não é uma “fórmula elementar” (não se reduz a raízes, logaritmos simples, etc.). Podemos também obter uma estimativa numérica por somas parciais e usar o fato do teste de Leibniz que o resto
satisfaz
. Por exemplo, com
obtemos
portanto
(esse é apenas um intervalo grosseiro; para precisão melhor é preciso somar muito mais termos porque
decresce relativamente devagar.)
Resposta
A série converge condicionalmente (não é absolutamente convergente).
Soma: (sem forma elementar simples).
Soma: