Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Verifique se a série é: absolutamente convergente, convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}.

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n}\frac{1}{\sqrt[3]{n^{2}}}
e pede:
  • Verificar se a série converge ou diverge.
  • Se convergir, dizer se converge absolutamente ou condicionalmente e, quando possível, calcular a soma.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_{n}=(-1)^{n}b_{n} com b_{n}=\dfrac{1}{n^{2/3}}>0.
  • A série é alternada por causa do fator (-1)^{n}.
  • O expoente de n em \,b_n=\dfrac{1}{n^{2/3}}\, é \dfrac{2}{3}, ou seja, é uma série do tipo 1/n^{p} com p=\dfrac{2}{3}.

Passo 2

Definição e teste de convergência absoluta (o que é e como testar).
  • Uma série \sum a_n é absolutamente convergente se a série de termos positivos \sum |a_n| converge.
  • No nosso caso |a_{n}|=b_{n}=\dfrac{1}{n^{2/3}}. Então verificar a convergência absoluta equivale a estudar a série p
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2/3}}.
  • Conhecimento útil (p-série): a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1; diverge se p\le 1.
  • Aqui p=\dfrac{2}{3}<1, portanto a série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2/3}} diverge.
    Conclusão deste passo: a série original não é absolutamente convergente.

Passo 3

Demonstração da divergência da série de módulos por um teste concreto (teste da integral), para fixar a ideia.
  • Considere f(x)=x^{-2/3} para x\ge1. É positiva e decrescente.
  • Aplicando o teste da integral:
\int_{1}^{\infty} x^{-2/3}\,dx =\left[\frac{ x^{1/3}}{(1/3)}\right]_{1}^{\infty} =3\lim_{t\to\infty}\left(t^{1/3}-1\right)=+\infty.
  • Como a integral diverge, a série \sum_{n=1}^{\infty}n^{-2/3} diverge também.
    Isso reforça que não há convergência absoluta.

Passo 4

Teste da série alternada (Teste de Leibniz) para verificar convergência condicional.
  • Enunciado do teste de Leibniz (alternating series test): se (b_n) é uma sequência de números positivos tal que
    1. b_{n} é monotonicamente decrescente a partir de algum N,
    2. \lim_{n\to\infty} b_{n}=0,
      então a série \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}b_{n} converge.
  • Aplicando ao nosso caso com b_{n}=\dfrac{1}{n^{2/3}}:
    1. Mostrar que b_n é decrescente: considere f(x)=x^{-2/3} para x>0. Calcula-se a derivada
    f'(x)=-\frac{2}{3}x^{-5/3}<0\quad\text{para }x>0,portanto f é estritamente decrescente e, em particular, a sequência b_n=f(n) é decrescente.
    2. Mostrar que b_n\to0: claramente \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2/3}}=0 porque o denominador cresce sem limite.
  • Assim, ambas as condições do teste de Leibniz são satisfeitas. Conclusão: a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2/3}}
converge.

Passo 5

Interpretação final e comentário sobre a soma da série.
  • Juntando os resultados: a série converge (pelo teste de Leibniz) mas não converge absolutamente (já que \sum 1/n^{2/3} diverge). Portanto a convergência é condicional.
  • Sobre a soma: não existe uma expressão elementar simples para
S=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{n^{2/3}}.
Uma representação natural é via função eta de Dirichlet \eta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{\,n-1}n^{-s}. Reescrevendo,
S=-\eta\!\left(\tfrac{2}{3}\right).
Isto dá uma forma compacta, mas não é uma “fórmula elementar” (não se reduz a raízes, logaritmos simples, etc.). Podemos também obter uma estimativa numérica por somas parciais e usar o fato do teste de Leibniz que o resto R_{n}=S-S_{n} satisfaz |R_{n}|\le b_{n+1}=\dfrac{1}{(n+1)^{2/3}}. Por exemplo, com n=10 obtemos
S_{10}\approx -0{,}53227,\qquad S_{11}\approx -0{,}7344,
portanto
-0{,}7344 \le S \le -0{,}53227.
(esse é apenas um intervalo grosseiro; para precisão melhor é preciso somar muito mais termos porque b_{n} decresce relativamente devagar.)

Resposta

A série converge condicionalmente (não é absolutamente convergente).
Soma: S=-\eta\!\left(\tfrac{2}{3}\right) (sem forma elementar simples).

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