Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Razão.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
Teste da Razão.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
Passo 1
O enunciado nos dá a série
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente usando o Teste da Razão. Informação relevante fornecida:
- O termo geral é
. - O objetivo é aplicar o Teste da Razão e, se a série for convergente, calcular a soma (quando possível).
Passo 2
Lembrete didático do Teste da Razão (explicado passo a passo):
- Seja uma série com termos positivos
(aqui para todo ). Defina
- Se
, a série converge absolutamente (portanto converge). - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Intuição curta: a razão entre termos vizinhos diz se os termos estão decaindo rápido o suficiente (razão <1) ou não.
Passo 3
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos para
. Escrevemos a razão e simplificamos cuidadosamente:
Colocando como multiplicação:
Passo 4
Simplificamos usando
. O
cancela:
Agora fatoramos
e o fator
cancela:
Logo
Passo 5
Agora precisamos do limite
Este é o limite clássico que define a constante
. Para justificar em uma linha: considere
, então
quando
e
Tomando logaritmo e usando L’Hôpital ou a expansão
, tem-se
portanto ao exponenciar obtemos
Numericamente
, ou seja
.
Passo 6
Aplicando o Teste da Razão: como
a série diverge pelo Teste da Razão. Comentário extra útil na prova: quando o limite da razão excede
, os termos não diminuem suficientemente e a soma não existe.
Passo 7
Observação alternativa (intuitiva e rápida): se a razão entre termos tende a um número maior que
, os termos
crescem (ou pelo menos não tendem a zero), logo uma condição necessária para convergência (que
) falha. De fato, aqui
cresce muito rápido, então a série não pode convergir.
Resposta
A série diverge (não é convergente).