Em cada exercício o objetivo é determinar se a série é convergente ou divergente. Em caso de ser convergente, calcule a sua soma, se possível
Teste da Razão.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^{n}}{n!}
e pede para determinar se ela é convergente ou divergente usando o Teste da Razão. Informação relevante fornecida:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}.
  • O objetivo é aplicar o Teste da Razão e, se a série for convergente, calcular a soma (quando possível).

Passo 2

Lembrete didático do Teste da Razão (explicado passo a passo):
  • Seja uma série com termos positivos \sum a_n (aqui a_n>0 para todo n). Defina
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
  • Se L<1, a série converge absolutamente (portanto converge).
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.
    Intuição curta: a razão entre termos vizinhos diz se os termos estão decaindo rápido o suficiente (razão <1) ou não.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos para a_n=\dfrac{n^{n}}{n!}. Escrevemos a razão e simplificamos cuidadosamente:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}}.
Colocando como multiplicação:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^{n}}.

Passo 4

Simplificamos usando (n+1)!=(n+1)\,n!. O n! cancela:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)\,n^{n}}.
Agora fatoramos (n+1)^{\,n+1}=(n+1)\,(n+1)^{n} e o fator (n+1) cancela:
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)^{n}}{n^{n}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}.
Logo
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.

Passo 5

Agora precisamos do limite
L=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}.
Este é o limite clássico que define a constante e. Para justificar em uma linha: considere x=\dfrac{1}{n}, então x\to 0^+ quando n\to\infty e
\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\lim_{x\to 0^+}(1+x)^{1/x}.
Tomando logaritmo e usando L’Hôpital ou a expansão \ln(1+x)=x+o(x), tem-se
\lim_{n\to\infty} n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=1,
portanto ao exponenciar obtemos
L=\mathrm{e}.
Numericamente \mathrm{e}\approx 2,71828, ou seja L>1.

Passo 6

Aplicando o Teste da Razão: como
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\mathrm{e}>1,
a série diverge pelo Teste da Razão. Comentário extra útil na prova: quando o limite da razão excede 1, os termos não diminuem suficientemente e a soma não existe.

Passo 7

Observação alternativa (intuitiva e rápida): se a razão entre termos tende a um número maior que 1, os termos a_n crescem (ou pelo menos não tendem a zero), logo uma condição necessária para convergência (que a_n\to 0) falha. De fato, aqui a_n cresce muito rápido, então a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge (não é convergente).

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