Em cada exercício, são dadas duas séries com aparência semelhante. Teste cada uma para saber se é convergente ou divergente.
(a) sumn=1^infty nn^2+1
(b) sumn=1^infty(nn^2+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência das séries
sumn=1^inftynn^2+1 e sumn=1^inftyl(nn^2+1r)^n
O conteúdo utilizado será testes de comparação para séries (p-séries) e o teste da raiz (Cauchy).

Passo 2

Analisando
an = nn^2+1,
observamos que para n>=1 vale
n^2+1 <= 2n^2 Longrightarrow nn^2+1>= n2n^2=12n
Como sum 1/(2n)=tfrac12sum1/n é a série harmônica (que diverge), pela comparação concluímos que
sumn=1^inftynn^2+1
é divergente.

Passo 3

Agora seja
bn=l(nn^2+1r)^n
Aplicamos o teste da raiz:
limntoinftyraiz[n]bn =limntoinftynn^2+1 =limntoinfty1n+tfrac1n =0
Como esse limite é menor que 1, o teste da raiz garante convergência absoluta de sum bn.

Resposta

(a) Diverge.
(b) Converge.

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