Fatore as expressões o máximo possível:
w^2 x^2+2 w^2 x y+w^2 y^2+2 w x^2 z+4 w x y z+2 w y^2 z+x^2 y^2+2 x y z^2+y^2 z^2

Passo 1

O polinômio é
w^2x^2+2w^2xy+w^2y^2 ;+;2w,x^2z+4w,x y z+2w,y^2z ;+;x^2y^2+2x y,z^2+y^2z^2
Note que os seis primeiros termos podem ser agrupados como
w^2(x+y)^2+2w,z,(x+y)^2 ;=;(x+y)^2l(w^2+2wzr)
Os três últimos termos somam
x^2y^2+2x y,z^2+y^2z^2 ;=;x^2y^2+2x y,z^2+y^2z^2

Passo 2

Escrevendo o polinômio como soma desses dois blocos, temos
f=(x+y)^2l(w^2+2wzr);+;l(x^2y^2+2x y,z^2+y^2z^2r)

Passo 3

Observe que w^2+2wz=(w+z)^2-z^2. Substituindo:
(x+y)^2(w^2+2wz) =(x+y)^2l((w+z)^2-z^2r) =(x+y)^2(w+z)^2-z^2(x+y)^2
Logo
f =(x+y)^2(w+z)^2 ;-;z^2(x+y)^2 ;+;l(x^2y^2+2x y,z^2+y^2z^2r)

Passo 4

Reescreva -z^2(x+y)^2+x^2y^2+2x y,z^2+y^2z^2.
Note que
-z^2(x+y)^2+2x y,z^2+y^2z^2 =-z^2(x^2+2xy+y^2)+2xy,z^2+y^2z^2 =-x^2z^2+x^2y^2
Portanto esses três termos somam
-x^2z^2+x^2y^2 =x^2(y^2-z^2) =x^2(y-z)(y+z)

Passo 5

Juntando tudo, obtemos a forma completamente fatorada (até onde é possível em polinômios reais):
boxed f =(x+y)^2(w+z)^2 ;+; x^2(y-z)(y+z)

Resposta

boxedw^2x^2+2w^2xy+w^2y^2+2w,x^2z+4w,xy,z+2w,y^2z+x^2y^2+2xy,z^2+y^2z^2 =(x+y)^2(w+z)^2+x^2(y-z)(y+z)

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