Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
O volume expiratório forçado no primeiro segundo (VEF1, em L) de 10 indivíduos:
3.2, 2.9, 3.5, 3.1, 3.4, 2.8, 3.0, 3.6, 3.3, 3.1.

Passo 1

O que o exercício pede:
  • Calcular a média amostral.
  • Calcular o desvio padrão amostral.
  • Calcular a mediana amostral.
  • Calcular os quartis.
  • Construir o histograma.
  • Construir o boxplot.
Dados fornecidos (VEF1 em L), listados tal como no enunciado:
3,2,\;2,9,\;3,5,\;3,1,\;3,4,\;2,8,\;3,0,\;3,6,\;3,3,\;3,1.
Tamanho da amostra: n=10.

Passo 2

Média amostral — o que é e como calcular
  • A média amostral é a soma dos valores dividida pelo número de observações. Serve como medida de tendência central; é o “valor médio” da amostra.
  • Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i
onde x_i são as observações e n é o número de observações.
Calculemos passo a passo:
  • Primeiro somamos todos os valores (vou mostrar a soma):
\sum_{i=1}^{10} x_i = 3,2+2,9+3,5+3,1+3,4+2,8+3,0+3,6+3,3+3,1 = 31,9
  • Agora a média:
\bar{x}=\frac{31,9}{10}=3,19
Interpretação rápida: o valor médio de VEF1 na amostra é 3,19 L.

Passo 3

Desvio padrão amostral — conceito e cálculo detalhado
  • O desvio padrão amostral mede quanto, em média, os valores se afastam da média. Usamos a versão amostral (dividindo por n-1) quando queremos estimar a variabilidade da população a partir de uma amostra.
  • Fórmula do desvio padrão amostral:
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}
  • Vamos calcular as diferenças x_i-\bar{x} e seus quadrados. Usei \bar{x}=3,19.
Tabela das diferenças e quadrados (mostro cada termo):
\begin{array}{lcl} x_1=3,2 &\Rightarrow& x_1-\bar{x}=3,2-3,19=0,01 \quad\Rightarrow\quad (x_1-\bar{x})^2=0,0001\\[2pt] x_2=2,9 &\Rightarrow& -0,29 \quad\Rightarrow\quad 0,0841\\[2pt] x_3=3,5 &\Rightarrow& 0,31 \quad\Rightarrow\quad 0,0961\\[2pt] x_4=3,1 &\Rightarrow& -0,09 \quad\Rightarrow\quad 0,0081\\[2pt] x_5=3,4 &\Rightarrow& 0,21 \quad\Rightarrow\quad 0,0441\\[2pt] x_6=2,8 &\Rightarrow& -0,39 \quad\Rightarrow\quad 0,1521\\[2pt] x_7=3,0 &\Rightarrow& -0,19 \quad\Rightarrow\quad 0,0361\\[2pt] x_8=3,6 &\Rightarrow& 0,41 \quad\Rightarrow\quad 0,1681\\[2pt] x_9=3,3 &\Rightarrow& 0,11 \quad\Rightarrow\quad 0,0121\\[2pt] x_{10}=3,1 &\Rightarrow& -0,09 \quad\Rightarrow\quad 0,0081 \end{array}
  • Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2 = 0,0001+0,0841+0,0961+0,0081+0,0441+0,1521+0,0361+0,1681+0,0121+0,0081 = 0,609
  • Variância amostral:
s^2=\frac{0,609}{n-1}=\frac{0,609}{9}=0,067\overline{6}
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0,067\overline{6}}\approx 0,260
Interpretação: em média os valores de VEF1 na amostra desviam-se cerca de 0,26 L da média.]

Passo 4

Mediana — definição e cálculo passo a passo
  • A mediana é o valor que divide a amostra em duas metades: metade dos valores está abaixo e metade acima.
  • Procedimento: primeiro ordenamos os dados em ordem crescente. Tomemos os dados ordenados (vou ordenar explicitamente):
2,8,\;2,9,\;3,0,\;3,1,\;3,1,\;3,2,\;3,3,\;3,4,\;3,5,\;3,6
  • Com n=10 (par), a mediana é a média dos dois valores centrais: o 5.º e o 6.º valores.
  • Os valores são 3,1 (5.º) e 3,2 (6.º).
  • Mediana:
\text{Mediana}=\frac{3,1+3,2}{2}= \frac{6,3}{2}=3,15
Interpretação: o valor central da amostra de VEF1 é 3,15 L.

Passo 5

Quartis — definição, cálculo e verificação de outliers
  • Quartis dividem os dados em quatro partes iguais. Usaremos o método clássico de dividir a amostra pela mediana e obter as medianas das metades (método compatível com amostras pequenas).
  • Dados ordenados (repito):
\text{inferior: }2,8,\;2,9,\;3,0,\;3,1,\;3,1\quad|\quad 3,2,\;3,3,\;3,4,\;3,5,\;3,6:\text{ superior}
  • Q_1 é a mediana da metade inferior (primeiros 5 valores). Com 5 valores, o Q_1 é o 3.º desses: Q_1=3,0.
  • Q_3 é a mediana da metade superior (últimos 5 valores). O 3.º da metade superior é 3,4, logo Q_3=3,4.
  • Assim:
Q_1=3,0,\quad Q_2(\text{mediana})=3,15,\quad Q_3=3,4
  • Intervalo interquartílico:
\text{IQR}=Q_3-Q_1=3,4-3,0=0,4
  • Regra para detectar outliers (1,5·IQR):
\text{limite inferior}=Q_1-1,5\cdot\text{IQR}=3,0-1,5\cdot0,4=3,0-0,6=2,4
\text{limite superior}=Q_3+1,5\cdot\text{IQR}=3,4+0,6=4,0
  • Todos os valores da amostra estão entre 2,8 e 3,6, ou seja, dentro de [2,4,\;4,0]. Portanto não há outliers segundo essa regra.

Passo 6

Construção do histograma — escolha de classes e frequências
  • Primeiro escolhemos classes (bins). A amplitude total dos dados é 3,6-2,8=0,8. Uma escolha simples e prática é usar classes de largura 0,2 L. Assim temos 4 classes que cobrem toda a amostra:
    • Classe 1: [2,8,\;3,0)
    • Classe 2: [3,0,\;3,2)
    • Classe 3: [3,2,\;3,4)
    • Classe 4: [3,4,\;3,6] (incluímos o limite superior no último bin)
  • Contagem dos dados em cada classe (usei convenção de incluir o limite esquerdo e excluir o direito, exceto no último bin):
    • [2,8,\;3,0): valores 2,8,\;2,9 → frequência 2
    • [3,0,\;3,2): valores 3,0,\;3,1,\;3,1 → frequência 3
    • [3,2,\;3,4): valores 3,2,\;3,3 → frequência 2
    • [3,4,\;3,6]: valores 3,4,\;3,5,\;3,6 → frequência 3
  • Frequências relativas (percentual):
    • Classe 1: 2/10=0,20 20\%
    • Classe 2: 3/10=0,30 30\%
    • Classe 3: 2/10=0,20 20\%
    • Classe 4: 3/10=0,30 30\%
  • Como desenhar o histograma na prova (passos):
    1. No eixo horizontal (x) coloque VEF1 de 2,8 a 3,6 com marcas em 2,8,\;3,0,\;3,2,\;3,4,\;3,6.
    2. No eixo vertical (y) coloque frequências (0 a 3) ou percentuais (0% a 30%).
    3. Desenhe retângulos nas classes com alturas correspondentes às frequências: 2, 3, 2, 3.
  • Observação: com amostras pequenas o histograma é mais uma visualização aproximada; trocar a largura das classes (ex.: 0,1 ou 0,25) é aceitável, desde que explique a escolha.

Passo 7

Construção do boxplot — cinco números e desenho
  • O boxplot é construído a partir da “five-number summary”: mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo.
  • Valores que vamos usar:
\text{mín} = 2,8,\quad Q_1=3,0,\quad \text{mediana}=3,15,\quad Q_3=3,4,\quad \text{máx}=3,6íá
  • Como não há outliers, os “whiskers” vão até o mínimo e máximo observados.
  • Como desenhar na prova:
    1. Faça uma escala horizontal de 2,8 a 3,6.
    2. Desenhe um retângulo (box) cujo lado esquerdo fica em Q_1=3,0 e lado direito em Q_3=3,4.
    3. Dentro do retângulo trace uma linha vertical na mediana 3,15.
    4. Desenhe linhas (whiskers) do lado esquerdo do box até 2,8 e do lado direito até 3,6.
    5. Marque os pontos extremos; se houvesse outliers, teríamos que marcá-los individualmente.
  • Interpretação: o box (de 3,0 a 3,4) mostra que 50% dos dados estão dentro de 0,4 L em torno do centro; a dispersão é moderada e não há valores extremos.

Passo 8

Resumo final (resultados numéricos redondos) — pronto para conferir na prova
  • Já calculamos todos os itens com explicação passo a passo e indiquei como desenhar histograma e boxplot. Se quiser posso também desenhar um esboço ASCII do boxplot ou tabelas prontas, mas aqui finalizei os números essenciais para conferência.

Resposta

Média amostral \bar{x}=3,19 L
Desvio padrão amostral s\approx0,26 L
Mediana =3,15 L
Quartis Q_1=3,0, Q_2(\text{mediana})=3,15, Q_3=3,4
Histograma (classes e frequências): [2,8,\;3,0):2 ( 20\%), [3,0,\;3,2):3 ( 30\%), [3,2,\;3,4):2 ( 20\%), [3,4,\;3,6]:3 ( 30\%)
Boxplot (five-number summary): mínimo 2,8, Q_1=3,0, mediana 3,15, Q_3=3,4, máximo 3,6 (sem outliers)

Exercícios relacionados