Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
O tempo de coagulação (em segundos) em 10 pacientes:
12.1, 11.8, 13.0, 12.5, 12.9, 11.7, 12.6, 12.3, 12.8, 12.0.

Passo 1

Aqui está o que o enunciado pede e os dados que temos. Pedidos:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construir o histograma
  • Construir o boxplot
Dados (tempos de coagulação, em segundos):
\;12{,}1,\;11{,}8,\;13{,}0,\;12{,}5,\;12{,}9,\;11{,}7,\;12{,}6,\;12{,}3,\;12{,}8,\;12{,}0.
Não começo a resolver ainda, apenas deixei claro o que é pedido e quais são os dados.

Passo 2

Organizar os dados em ordem crescente (isso facilita mediana, quartis, histogramas e boxplot). Dados ordenados:
11{,}7,\;11{,}8,\;12{,}0,\;12{,}1,\;12{,}3,\;12{,}5,\;12{,}6,\;12{,}8,\;12{,}9,\;13{,}0.
Também registro o tamanho da amostra: \;n=10.

Passo 3

Calcular a média amostral e explicar a fórmula.
Fórmula da média amostral:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
onde \;x_i são as observações e \;n o número de observações.
Soma dos valores (usei os dados ordenados para somar):
\sum_{i=1}^{10} x_i = 11{,}7+11{,}8+12{,}0+12{,}1+12{,}3+12{,}5+12{,}6+12{,}8+12{,}9+13{,}0 = 123{,}7.
Logo,
\bar{x}=\frac{123{,}7}{10}=12{,}37.
Interpretação curta: a média é o “centro de massa” dos tempos, aqui \;12{,}37 segundos.

Passo 4

Calcular o desvio padrão amostral (explicando cada passo).
Fórmula do desvio padrão amostral (estimador amostral):
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2},
onde \;x_i são as observações, \;\bar{x} é a média amostral e \;n é o número de observações. Usamos n-1 (graus de liberdade) porque é o desvio padrão amostral.
Vou calcular as diferenças (x_i-\bar{x}) e seus quadrados (uso \bar{x}=12{,}37):
\begin{array}{ll} x_1=11{,}7: & x_1-\bar{x}=11{,}7-12{,}37=-0{,}67,\quad (x_1-\bar{x})^2=0{,}4489\\[4pt] x_2=11{,}8: & -0{,}57,\quad 0{,}3249\\[4pt] x_3=12{,}0: & -0{,}37,\quad 0{,}1369\\[4pt] x_4=12{,}1: & -0{,}27,\quad 0{,}0729\\[4pt] x_5=12{,}3: & -0{,}07,\quad 0{,}0049\\[4pt] x_6=12{,}5: & 0{,}13,\quad 0{,}0169\\[4pt] x_7=12{,}6: & 0{,}23,\quad 0{,}0529\\[4pt] x_8=12{,}8: & 0{,}43,\quad 0{,}1849\\[4pt] x_9=12{,}9: & 0{,}53,\quad 0{,}2809\\[4pt] x_{10}=13{,}0: & 0{,}63,\quad 0{,}3969 \end{array}
Somando os quadrados das diferenças:
\sum_{i=1}^{10} (x_i-\bar{x})^2 = 0{,}4489+0{,}3249+0{,}1369+0{,}0729+0{,}0049+0{,}0169+0{,}0529+0{,}1849+0{,}2809+0{,}3969 = 1{,}9210.
Variância amostral:
s^2=\frac{1{,}9210}{n-1}=\frac{1{,}9210}{9}=0{,}213444\ldots
Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{0{,}213444\ldots}\approx 0{,}462.
Interpretação: em média os tempos se desviam da média em cerca de \;0{,}462 segundos — a amostra é bastante homogênea.]

Passo 5

Calcular a mediana (explicando como fazer).
Como n=10 é par, a mediana é a média dos valores nas posições \;n/2=5 e \;n/2+1=6 na amostra ordenada. Observações 5ª e 6ª (na lista ordenada) são:
\text{5ª}=12{,}3,\qquad \text{6ª}=12{,}5.ªª
Portanto a mediana é
\tilde{x}=\frac{12{,}3+12{,}5}{2}=12{,}4.
Interpretação: metade das observações está abaixo de \;12{,}4 s e metade acima.

Passo 6

Calcular os quartis e explicar o método usado.
Método escolhido: separar a amostra em metade inferior e superior (como n é par) e calcular a mediana de cada metade — método de Tukey (muito usado e simples na prova).
Metade inferior (primeiras 5 observações):
11{,}7,\;11{,}8,\;12{,}0,\;12{,}1,\;12{,}3.
A mediana desta metade (3ª posição) é \;12{,}0. Logo \;Q_1=12{,}0.
Metade superior (últimas 5 observações):
12{,}5,\;12{,}6,\;12{,}8,\;12{,}9,\;13{,}0.
A mediana desta metade (3ª posição) é \;12{,}8. Logo \;Q_3=12{,}8.
E \;Q_2 é a mediana já calculada: \;Q_2=\tilde{x}=12{,}4.
Intervalo interquartílico:
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=12{,}8-12{,}0=0{,}8.

Passo 7

Construir o histograma (passo a passo e tabela de frequências).
Escolha do número de classes (bins): uso a Regra de Sturges como método simples:
k\approx 1+\log_2 n = 1+\log_2 10 \approx 1+3{,}32\approx 4{,}32,
arredondo para \;k=4 classes (método simples, prático em prova).
Amplitude (range):
\text{mín} = 11{,}7,\qquad \text{máx} = 13{,}0,\qquad \text{amplitude} = 13{,}0-11{,}7 = 1{,}3.íá
Largura de classe:
h=\frac{\text{amplitude}}{k}=\frac{1{,}3}{4}=0{,}325.
Vou definir as classes com essas larguras, tomando a primeira começando em 11{,}70. Classes (fecho da direita à esquerda: incluo o limite inferior e excluo o superior, exceto a última que inclui o máximo):
\begin{array}{ll} \text{Classe 1: } & [11{,}70,\;12{,}025)\\[2pt] \text{Classe 2: } & [12{,}025,\;12{,}350)\\[2pt] \text{Classe 3: } & [12{,}350,\;12{,}675)\\[2pt] \text{Classe 4: } & [12{,}675,\;13{,}000] \end{array}
Contagem das observações em cada classe (usando os dados ordenados):
  • Classe 1 [11{,}70,12{,}025): contém 11{,}7,\;11{,}8,\;12{,}0 → frequência f_1=3.
  • Classe 2 [12{,}025,12{,}350): contém 12{,}1,\;12{,}3 → frequência f_2=2.
  • Classe 3 [12{,}350,12{,}675): contém 12{,}5,\;12{,}6 → frequência f_3=2.
  • Classe 4 [12{,}675,13{,}000]: contém 12{,}8,\;12{,}9,\;13{,}0 → frequência f_4=3.
Verificação: f_1+f_2+f_3+f_4=3+2+2+3=10=n.
Tabela resumo para o histograma:
\begin{array}{c|c|c} \text{Classe} & \text{Intervalo} & \text{Frequência }(f)\\hline 1 & [11{,}70,\;12{,}025) & 3\\\\ 2 & [12{,}025,\;12{,}350) & 2\\\\ 3 & [12{,}350,\;12{,}675) & 2\\\\ 4 & [12{,}675,\;13{,}000] & 3 \end{array}ê
Como desenhar o histograma: no eixo horizontal coloque os intervalos das classes; no eixo vertical as frequências. Para cada classe desenhe uma barra com altura igual a f (ou frequência relativa f/n se preferir normalizar). Aqui as alturas são 3,2,2,3.
Dica prática para prova: se quiser barras com largura proporcional, use as larguras calculadas; se preferir números “redondos”, você pode escolher classes como [11{,}7,12{,0}),[12{,}0,12{,}3),[12{,}3,12{,}6),[12{,}6,12{,}9),[12{,}9,13{,}2) e então ter 5 classes — qualquer escolha razoável e justificada é aceitável em prova, desde que explique como conta os pontos na fronteira.]

Passo 8

Construir o boxplot (caixa e bigodes), explicando tudo.
Valores importantes já calculados:
\text{mín} = 11{,}7,\quad Q_1=12{,}0,\quad Q_2(\text{mediana})=12{,}4,\quad Q_3=12{,}8,\quad \text{máx}=13{,}0.íá
Intervalo interquartílico:
\mathrm{IQR}=Q_3-Q_1=0{,}8.
Regras para detectar outliers (regra usual):
  • Limite inferior (fence inferior): Q_1-1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=12{,}0 - 1{,}5\times0{,}8 = 12{,}0-1{,}2 = 10{,}8.
  • Limite superior (fence superior): Q_3+1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=12{,}8 + 1{,}2 = 14{,}0.
Como \;10{,}8<\text{mín}=11{,}7í e \text{máx}=13{,}0<14{,}0á, não há observações fora das fences — portanto não há outliers segundo a regra 1{,}5\times\mathrm{IQR}.
Como desenhar o boxplot:
  • Desenhe uma caixa que vai de Q_1=12{,}0 a Q_3=12{,}8.
  • Dentro da caixa desenhe uma linha vertical na mediana 12{,}4.
  • Desenhe o bigode inferior do mínimo da caixa até a observação mínima 11{,}7.
  • Desenhe o bigode superior do máximo da caixa até a observação máxima 13{,}0.
  • Marque que não existem outliers.
Resumo numérico para o boxplot:
\text{mín}=11{,}7,\quad Q_1=12{,}0,\quad \text{mediana}=12{,}4,\quad Q_3=12{,}8,\quad \text{máx}=13{,}0,\quad \text{sem outliers}.íá

Resposta

Média amostral: \bar{x}=12{,}37
Desvio padrão amostral: s\approx0{,}462
Mediana amostral: \tilde{x}=12{,}4
Quartis: Q_1=12{,}0,\;Q_2=12{,}4,\;Q_3=12{,}8
Histograma (classes e frequências): [11{,}70,12{,}025):3,\;[12{,}025,12{,}350):2,\;[12{,}350,12{,}675):2,\;[12{,}675,13{,}000]:3
Boxplot (valores essenciais): \text{mín}=11{,}7,\;Q_1=12{,}0,\;\text{mediana}=12{,}4,\;Q_3=12{,}8,\;\text{máx}=13{,}0íá (sem outliers)

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