Para cada exercício, utilize os dados fornecidos para calcular:
  • Média amostral
  • Desvio padrão amostral
  • Mediana amostral
  • Quartis
  • Construa o histograma
  • Construa o boxplot
O índice de massa corporal (IMC) de 14 adultos:
22.1, 24.5, 26.8, 23.9, 25.2, 27.1, 28.3, 21.7, 23.5, 26.2, 24.9, 22.8, 25.7, 27.5.

Passo 1

O enunciado pede, para a amostra de 14 valores de IMC, que calculemos:
  • Média amostral;
  • Desvio padrão amostral;
  • Mediana amostral;
  • Quartis (primeiro e terceiro) e IQR;
  • Construa o histograma (ou seja, escolha classes e conte frequências);
  • Construa o boxplot (ou seja, dê os valores necessários e indique se há outliers).
Os dados fornecidos (IMC de 14 adultos) são:
22{,}1,\;24{,}5,\;26{,}8,\;23{,}9,\;25{,}2,\;27{,}1,\;28{,}3,\;21{,}7,\;23{,}5,\;26{,}2,\;24{,}9,\;22{,}8,\;25{,}7,\;27{,}5.

Passo 2

Primeiro passo prático: ordenar os dados (isso facilita mediana, quartis e histogramas). Vou ordenar em ordem crescente:
Valores ordenados:
21{,}7,\;22{,}1,\;22{,}8,\;23{,}5,\;23{,}9,\;24{,}5,\;24{,}9,\;25{,}2,\;25{,}7,\;26{,}2,\;26{,}8,\;27{,}1,\;27{,}5,\;28{,}3.
Aqui temos n=14 observações. Anotações úteis:
  • Mínimo: \min=21{,}7.
  • Máximo: \max=28{,}3.
  • Soma (usada para média): \sum x_i = 350{,}2 (somando todos os valores ordenados).

Passo 3

Média amostral — o que é e como calcular:
A média amostral \bar{x} é a soma dos valores dividido pelo número de observações:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Aqui já calculei \sum x_i = 350{,}2 e n=14. Então
\bar{x} = \frac{350{,}2}{14}=25{,}0142857\ldots
Arredondando para duas casas decimais (prática comum):
\bar{x}\approx 25{,}01.
Breve explicação didática: média é o centro “aritmético” dos dados — some tudo e divida pelo número de observações. Se tiver dúvida, pratique com 3 números simples: média de 2,4,6 é (2+4+6)/3=4.

Passo 4

Desvio padrão amostral — fórmula e cálculo passo a passo:
O desvio padrão amostral s mede a dispersão das observações em torno da média. A fórmula (amostral) é
s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}.
Uma forma prática de calcular sem fazer cada (x_i-\bar{x})^2 separadamente é usar:
s^2=\frac{\sum x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1},
onde \sum x_i^2 é a soma dos quadrados dos valores.
Calculei os quadrados individuais e sua soma:
\sum x_i^2 = 8814{,}62.
Já temos n\bar{x}^2 = 14\cdot(25{,}0142857\ldots)^2 \approx 8760{,}002857\ldots.
Logo a variância amostral é
s^2=\frac{8814{,}62 - 8760{,}002857\ldots}{13}\approx \frac{54{,}617142857}{13}\approx 4{,}2013133.
E o desvio padrão:
s=\sqrt{4{,}2013133}\approx 2{,}0493\ldots
Arredondando para duas casas decimais:
s\approx 2{,}05.
Explicação didática curta: usamos n-1 no denominador para corrigir o viés quando usamos a média amostral em vez da média populacional; é o “grau de liberdade” para amostras.

Passo 5

Mediana — definição e cálculo:
A mediana é o valor central que divide a amostra em duas metades com igual número de observações. Para n par (aqui n=14), a mediana é a média dos dois valores centrais, ou seja dos elementos nas posições n/2 e n/2+1 na lista ordenada.
Na lista ordenada, as posições centrais são a 7ª e a 8ª:
\text{7ª} = 24{,}9,\qquad \text{8ª} = 25{,}2.ªª
Portanto a mediana é
\text{Mediana}=\frac{24{,}9+25{,}2}{2}=\frac{50{,}1}{2}=25{,}05.
Dica prática: sempre ordenar e contar as posições. Para n ímpar, a mediana é o valor na posição (n+1)/2.

Passo 6

Quartis — método, cálculo e IQR:
Método adotado (mais comum em estatística básica): para n par, dividir a amostra ordenada em duas metades iguais: os n/2 menores e os n/2 maiores; o primeiro quartil Q_1 é a mediana da metade inferior e o terceiro quartil Q_3 é a mediana da metade superior.
Metade inferior (primeiras 7 observações):
21{,}7,\;22{,}1,\;22{,}8,\;23{,}5,\;23{,}9,\;24{,}5,\;24{,}9.
A mediana dessa metade (posição 4 dessa metade) é 23{,}5. Logo
Q_1 = 23{,}5.
Metade superior (últimas 7 observações):
25{,}2,\;25{,}7,\;26{,}2,\;26{,}8,\;27{,}1,\;27{,}5,\;28{,}3.
A mediana dessa metade (posição 4 dessa metade) é 26{,}8. Logo
Q_3 = 26{,}8.
Intervalo interquartílico (IQR):
\mathrm{IQR} = Q_3 - Q_1 = 26{,}8 - 23{,}5 = 3{,}3.
Breve explicação: Q_1 é o ponto abaixo do qual estão 25% dos dados; Q_3 é o ponto abaixo do qual estão 75% dos dados. IQR mede a dispersão do meio dos dados.

Passo 7

Construção do histograma — escolha de classes e contagem:
Com n=14 e intervalo (mín a máx) de 21{,}7 até 28{,}3 (amplitude 6{,}6), escolho classes com largura 1{,}0 para que fique simples e interpretável. As classes escolhidas (fechamento à esquerda, abertura à direita) são:
[21{,}5,22{,}5),\;[22{,}5,23{,}5),\;[23{,}5,24{,}5),\;[24{,}5,25{,}5),\;[25{,}5,26{,}5),\;[26{,}5,27{,}5),\;[27{,}5,28{,}5).
Agora as frequências em cada classe (contando na lista ordenada):
  • [21{,}5,22{,}5): 21{,}7,\;22{,}1 → frequência 2.
  • [22{,}5,23{,}5): 22{,}8 → frequência 1.
  • [23{,}5,24{,}5): 23{,}5,\;23{,}9 → frequência 2.
  • [24{,}5,25{,}5): 24{,}5,\;24{,}9,\;25{,}2 → frequência 3.
  • [25{,}5,26{,}5): 25{,}7,\;26{,}2 → frequência 2.
  • [26{,}5,27{,}5): 26{,}8,\;27{,}1 → frequência 2.
  • [27{,}5,28{,}5): 27{,}5,\;28{,}3 → frequência 2.
Verifique que as frequências somam 2+1+2+3+2+2+2=14.
Como desenhar o histograma: eixo horizontal = classes (intervalos de IMC), eixo vertical = frequência (contagem). Para cada classe desenhe um retângulo com altura igual à frequência da classe (por exemplo classe [24,5;25,5) terá altura 3). Como n pequeno, favor usar rótulos de frequências em cima de cada barra.

Passo 8

Construção do boxplot — cinco números e detecção de outliers:
Para o boxplot precisamos do resumo em cinco números: \min, Q_1, \text{Mediana}, Q_3, \max.
Já temos:
\min=21{,}7,\quad Q_1=23{,}5,\quad \text{Mediana}=25{,}05,\quad Q_3=26{,}8,\quad \max=28{,}3.
Regra prática para outliers (comum): pontos abaixo de Q_1 - 1{,}5\cdot\mathrm{IQR} ou acima de Q_3 + 1{,}5\cdot\mathrm{IQR} são considerados outliers.
Calculemos as cercas:
1{,}5\cdot\mathrm{IQR}=1{,}5\cdot 3{,}3=4{,}95.
\text{Cerca inferior}=Q_1-4{,}95=23{,}5-4{,}95=18{,}55.
\text{Cerca superior}=Q_3+4{,}95=26{,}8+4{,}95=31{,}75.
Como \min=21{,}7>18{,}55 e \max=28{,}3<31{,}75, não há outliers segundo essa regra.
Como desenhar o boxplot: desenhe um retângulo (a caixa) entre Q_1=23{,}5 e Q_3=26{,}8. Trace uma linha dentro da caixa em \text{Mediana}=25{,}05. Desenhe “whiskers” (linhas) da caixa até os valores mínimo e máximo (21{,}7 e 28{,}3). Como não há outliers, nenhum ponto isolado é marcado.

Passo 9

Pequena interpretação (útil na prova): a média \approx 25{,}01 e a mediana 25{,}05 são muito próximas — isso indica distribuição relativamente simétrica sem grandes assimetrias ou outliers extremos. O desvio padrão \approx 2{,}05 diz que a maioria dos IMCs está dentro de cerca de 2 unidades da média.

Resposta

Média amostral: \bar{x}\approx 25{,}01
Desvio padrão amostral: s\approx 2{,}05
Mediana amostral: \text{Mediana}=25{,}05
Primeiro quartil: Q_1=23{,}5
Terceiro quartil: Q_3=26{,}8
IQR: \mathrm{IQR}=3{,}3
Histograma (classes e frequências): [21{,}5,22{,}5):2,\;[22{,}5,23{,}5):1,\;[23{,}5,24{,}5):2,\;[24{,}5,25{,}5):3,\;[25{,}5,26{,}5):2,\;[26{,}5,27{,}5):2,\;[27{,}5,28{,}5):2
Boxplot (cinco números): \min=21{,}7,\;Q_1=23{,}5,\;\text{Mediana}=25{,}05,\;Q_3=26{,}8,\;\max=28{,}3 (sem outliers segundo a regra 1{,}5\cdot\mathrm{IQR}).

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