Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região
limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
dado.
;
: eixo
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região
em torno do eixo
(o eixo
), usando o método das cascas cilíndricas. As curvas que definem
são:
-
, -
, -
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A curva
intersecta em (porque ). - Portanto a região
está entre e , e para cada em temos . - O eixo de rotação é o eixo
.
Pergunta clara: calcular o volume do sólido gerado pela rotação de
em torno do eixo
, aplicando o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Explicação didática do método das cascas cilíndricas (fórmula, o que é cada coisa, e por que usar aqui).
Ideia: cortar a região
em retângulos verticais (paralelos ao eixo
) de espessura
. Ao rodar um retângulo vertical situado na abscissa
em torno do eixo
, ele gera uma casca cilíndrica de:
- raio igual à distância do retângulo ao eixo
, isto é, raio ; - altura igual ao comprimento do retângulo na direção
, isto é, altura ; - espessura da casca igual a
.
Volume aproximado da casca (área da superfície lateral vezes espessura):
Portanto, a fórmula geral para o volume pelo método das cascas é
Aqui: raio
, e vamos determinar a altura e os limites de integração.
Passo 3
Determinar a altura da casca e os limites em
.
A região
está entre
(inferior) e a curva
que, resolvendo para
, dá
(consideramos a raiz positiva porque
varia de
a
). Assim:
- altura da casca =
.
Agora os limites em
: a região tem
variando de
(linha
) até o maior valor de
na região, que ocorre em
com
. Logo
.
Passo 4
Montar a integral pelo método das cascas usando as expressões encontradas.
Substituindo raio
e altura
na fórmula:
Simplificando a potência:
então
Passo 5
Calcular a integral passo a passo (mostrando a regra de integração usada).
Regra: para
quando
.
Aqui
, então
Aplicando aos limites de
a
:
Passo 6
Comentário final e verificação rápida: o resultado é um número positivo e tem a forma
. Se alguém preferir, poderia também obter o mesmo volume usando o método dos discos/aros integrando em
, mas como o enunciado pediu explícito o método das cascas, foi usado esse método.