Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: x=y^{2}, x=0, y=1;
E : eixo y

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E (o eixo y), usando o método das cascas cilíndricas. As curvas que definem R são:
  • x=y^{2},
  • x=0,
  • y=1.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A curva x=y^{2} intersecta x=0 em y=0 (porque x=0\Rightarrow y^{2}=0\Rightarrow y=0).
  • Portanto a região R está entre y=0 e y=1, e para cada y em [0,1] temos 0\le x\le y^{2}.
  • O eixo de rotação é o eixo y.
Pergunta clara: calcular o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo y, aplicando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Explicação didática do método das cascas cilíndricas (fórmula, o que é cada coisa, e por que usar aqui).
Ideia: cortar a região R em retângulos verticais (paralelos ao eixo y) de espessura \mathrm{d}x. Ao rodar um retângulo vertical situado na abscissa x em torno do eixo y, ele gera uma casca cilíndrica de:
  • raio igual à distância do retângulo ao eixo y, isto é, raio =x;
  • altura igual ao comprimento do retângulo na direção y, isto é, altura =y_{\text{top}}-y_{\text{bot}};
  • espessura da casca igual a \mathrm{d}x.
Volume aproximado da casca (área da superfície lateral vezes espessura):
\mathrm{d}V \approx (\text{circunferência})\times(\text{altura})\times(\text{espessura}) =2\pi(\text{raio})\times(\text{altura})\times \mathrm{d}x.ê
Portanto, a fórmula geral para o volume pelo método das cascas é
V=\int_{x_{\min}}^{x_{\max}} 2\pi(\text{raio})(\text{altura})\,\mathrm{d}x.
Aqui: raio =x, e vamos determinar a altura e os limites de integração.

Passo 3

Determinar a altura da casca e os limites em x.
A região R está entre y=0 (inferior) e a curva x=y^{2} que, resolvendo para y, dá y=\sqrt{x} (consideramos a raiz positiva porque y varia de 0 a 1). Assim:
  • altura da casca = y_{\text{top}}-y_{\text{bot}} = \sqrt{x}-0 = \sqrt{x}.
Agora os limites em x: a região tem x variando de x=0 (linha x=0) até o maior valor de x na região, que ocorre em y=1 com x=y^{2}=1. Logo x\in[0,1].

Passo 4

Montar a integral pelo método das cascas usando as expressões encontradas.
Substituindo raio =x e altura =\sqrt{x} na fórmula:
V=\int_{0}^{1} 2\pi \,x\,\sqrt{x}\,\mathrm{d}x.
Simplificando a potência:
x\sqrt{x}=x\cdot x^{1/2}=x^{3/2},
então
V=2\pi\int_{0}^{1} x^{3/2}\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo (mostrando a regra de integração usada).
Regra: para \displaystyle\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C quando n\neq -1.
Aqui n=\tfrac{3}{2}, então
\int x^{3/2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{3/2+1}}{3/2+1} = \frac{x^{5/2}}{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}.
Aplicando aos limites de 0 a 1:
V=2\pi\left[\frac{2}{5}x^{5/2}\right]_{0}^{1} =2\pi\cdot\frac{2}{5}\bigl(1^{5/2}-0^{5/2}\bigr) =2\pi\cdot\frac{2}{5}\cdot 1 =\frac{4\pi}{5}.

Passo 6

Comentário final e verificação rápida: o resultado é um número positivo e tem a forma \dfrac{4\pi}{5}. Se alguém preferir, poderia também obter o mesmo volume usando o método dos discos/aros integrando em y, mas como o enunciado pediu explícito o método das cascas, foi usado esse método.

Resposta

\dfrac{4\pi}{5}

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