Em cada um dos exercícios 1 a 6 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: y=\cos x, \quad y=\operatorname{sen} x, \quad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2};
E : eixo y

Passo 1

O enunciado pede: girar a região R em torno do eixo E (o eixo y) e calcular o volume do sólido gerado, usando o método dos discos circulares.
As informações dadas:
  • As curvas que limitam R são \;y=\cos x\; e \;y=\sin x\;.
  • O intervalo em x é \;0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\;.
  • A região R é, para cada x\in[0,\pi/2], o segmento vertical entre y=\min(\sin x,\cos x) e y=\max(\sin x,\cos x). As duas curvas se intersectam em x=\dfrac{\pi}{4} (pois \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}).
  • O eixo de rotação é o eixo y (vertical).
O que preciso calcular:
  • O volume V do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y, usando o método dos discos circulares (ou seja, fatias horizontais que giram e formam “anéis”/“lavadores” — washers).

Passo 2

Ideia do método dos discos (washers) para rotação em torno do eixo y.
  • Fazer fatias horizontais: para um dado y fixo, a interseção da linha horizontal y=\text{const} com a região R é um segmento horizontal cujas extremidades têm abscissas dadas pelas soluções em x das equações y=\sin x e y=\cos x dentro de [0,\pi/2].
  • Se chamarmos essas abscissas de x_{\text{esq}}(y) e x_{\text{dir}}(y) (a ordem depende de y), ao girar essa fatia horizontal em torno do eixo y obtém-se um anel cuja área da seção é
A(y)=\pi\bigl(x_{\text{dir}}(y)^2 - x_{\text{esq}}(y)^2\bigr).
  • O volume total é
V=\int_{y_{\min}}^{y_{\max}} A(y)\,dy =\pi\int_{y_{\min}}^{y_{\max}}\bigl(x_{\text{dir}}(y)^2 - x_{\text{esq}}(y)^2\bigr)\,dy.
  • Aqui y_{\min}=0 e y_{\max}=1 (porque em [0,\pi/2] as funções \sin x e \cos x variam entre 0 e 1).
Agora precisamos escrever x_{\text{dir}}(y) e x_{\text{esq}}(y) explicitamente em termos de y.

Passo 3

Encontrar as abscissas das interseções em função de y.
  • A interseção da reta y= const com a curva y=\sin x (no intervalo considerado) é x=\arcsin(y).
  • A interseção da mesma reta com a curva y=\cos x (no intervalo considerado) é x=\operatorname{arccos}(y).
  • Observação útil: para y\in[0,1] vale \arcsin(y)+\operatorname{arccos}(y)=\dfrac{\pi}{2}.
  • Para 0\le y\le \dfrac{1}{\sqrt{2}} tem-se \arcsin(y)\le \dfrac{\pi}{4}\le \operatorname{arccos}(y), então x_{\text{esq}}(y)=\arcsin(y) e x_{\text{dir}}(y)=\operatorname{arccos}(y).
  • Para \dfrac{1}{\sqrt{2}}\le y\le1 as ordens trocam, mas o integrando x_{\text{dir}}^2-x_{\text{esq}}^2 será sempre o valor positivo |\operatorname{arccos}^2(y)-\arcsin^2(y)|.

Passo 4

Expressar x_{\text{dir}}(y)^2-x_{\text{esq}}(y)^2 de forma conveniente.
  • Use \operatorname{arccos}(y)=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin(y). Defina a(y):=\arcsin(y).
  • Então, para cada y,
\operatorname{arccos}^2(y)-\arcsin^2(y) =\Bigl(\frac{\pi}{2}-a\Bigr)^2 - a^2 = \frac{\pi^2}{4} - \pi a.
  • A diferença de quadrados pode ficar negativa dependendo de a, por isso tomamos o valor positivo (o integrando da área é sempre não negativo). Assim podemos escrever
x_{\text{dir}}(y)^2 - x_{\text{esq}}(y)^2 = \bigl|\tfrac{\pi^2}{4} - \pi\,\arcsin(y)\bigr|.
  • Note que isso pode ser reescrito de forma mais simples factorando \pi:
x_{\text{dir}}(y)^2 - x_{\text{esq}}(y)^2 = \pi\bigl|\tfrac{\pi}{4} - \arcsin(y)\bigr|.

Passo 5

Montar a integral do volume (expressão final antes de calcular).
  • A área do anel para o nível y é
A(y)=\pi\bigl(x_{\text{dir}}(y)^2 - x_{\text{esq}}(y)^2\bigr) =\pi\cdot \pi\bigl|\tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y)\bigr| = \pi^2\bigl|\tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y)\bigr|.
  • Logo o volume é
V=\pi^2\int_{0}^{1}\bigl|\tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y)\bigr|\,dy.

Passo 6

Calcular a integral, dividindo onde a função muda de sinal.
  • A função \tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y) muda de sinal quando \arcsin(y)=\tfrac{\pi}{4}, isto é quando y=\sin(\tfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
  • Separe a integral:
\int_{0}^{1}\bigl|\tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y)\bigr|\,dy =\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y)\Bigr)dy +\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\Bigl(\arcsin(y)-\tfrac{\pi}{4}\Bigr)dy.
Agora usamos a primitiva conhecida
\int \arcsin(y)\,dy = y\,\arcsin(y) + \sqrt{1-y^2} + C.
  • Calcule a primeira parte:
I_1=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\Bigl(\tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y)\Bigr)dy =\tfrac{\pi}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} - \Bigl[y\,\arcsin(y)+\sqrt{1-y^2}\Bigr]_{0}^{1/\sqrt{2}}.
Avalie os termos:
\Bigl[y\,\arcsin(y)+\sqrt{1-y^2}\Bigr]_{0}^{1/\sqrt{2}} =\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\pi}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} - 1.
Substituindo em I_1 obtemos
I_1 = \frac{\pi}{4\sqrt{2}} -\Bigl(\frac{\pi}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} -1\Bigr) = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Calcule a segunda parte:
I_2=\int_{1/\sqrt{2}}^{1}\Bigl(\arcsin(y)-\tfrac{\pi}{4}\Bigr)dy =\Bigl[y\,\arcsin(y)+\sqrt{1-y^2}\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} - \tfrac{\pi}{4}\Bigl(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr).
Avalie:
\Bigl[y\,\arcsin(y)+\sqrt{1-y^2}\Bigr]_{1/\sqrt{2}}^{1} =\Bigl(\frac{\pi}{2}-1\Bigr)-\Bigl(\frac{\pi}{4\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-1\Bigr) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}.
Então
I_2 = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4\sqrt{2}} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Somando I_1+I_2:
\int_{0}^{1}\bigl|\tfrac{\pi}{4}-\arcsin(y)\bigr|\,dy = \Bigl(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) + \Bigl(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr) = 1 + \frac{\pi}{4} - \sqrt{2}.

Passo 7

Multiplicar pelo fator \pi^2 para obter o volume.
  • Como V=\pi^2 vezes a integral encontrada,
V=\pi^2\Bigl(1 + \frac{\pi}{4} - \sqrt{2}\Bigr).

Passo 8

Verificação por método alternativo (intuição / consistência).
  • Uma verificação alternativa é usar o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells) com fatias verticais: para cada x\in[0,\pi/2] a casca tem raio x e altura |\cos x-\sin x|, dando
V = 2\pi\int_{0}^{\pi/2} x\,\bigl|\cos x - \sin x\bigr|\,dx.
  • Aplicando simetria e transformações (dividindo no ponto x=\pi/4 e usando u=\pi/2-x em metade da integral) simplifica-se essa integral e obtém-se o mesmo valor para V apresentado acima (essa verificação é útil na prova para conferir coerência entre métodos).

Resposta

\displaystyle V=\pi^{2}\Bigl(1+\dfrac{\pi}{4}-\sqrt{2}\Bigr)

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