Em cada um dos exercícios 1 a 6 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado. R: y=\cos x, \quad y=\operatorname{sen} x, \quad 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}; E : eixo y
Passo 1
O enunciado pede: girar a região R em torno do eixo E (o eixo y) e calcular o volume do sólido gerado, usando o método dos discos circulares.
As informações dadas:
As curvas que limitam R são \;y=\cos x\; e \;y=\sin x\;.
O intervalo em x é \;0 \le x \le \dfrac{\pi}{2}\;.
A região R é, para cada x\in[0,\pi/2], o segmento vertical entre y=\min(\sin x,\cos x) e y=\max(\sin x,\cos x). As duas curvas se intersectam em x=\dfrac{\pi}{4} (pois \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=1/\sqrt{2}).
O eixo de rotação é o eixo y (vertical).
O que preciso calcular:
O volume V do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y, usando o método dos discos circulares (ou seja, fatias horizontais que giram e formam “anéis”/“lavadores” — washers).
Passo 2
Ideia do método dos discos (washers) para rotação em torno do eixo y.
Fazer fatias horizontais: para um dado y fixo, a interseção da linha horizontal y=\text{const} com a região R é um segmento horizontal cujas extremidades têm abscissas dadas pelas soluções em x das equações y=\sin x e y=\cos x dentro de [0,\pi/2].
Se chamarmos essas abscissas de x_{\text{esq}}(y) e x_{\text{dir}}(y) (a ordem depende de y), ao girar essa fatia horizontal em torno do eixo y obtém-se um anel cuja área da seção é
Aqui y_{\min}=0 e y_{\max}=1 (porque em [0,\pi/2] as funções \sin x e \cos x variam entre 0 e 1).
Agora precisamos escrever x_{\text{dir}}(y) e x_{\text{esq}}(y) explicitamente em termos de y.
Passo 3
Encontrar as abscissas das interseções em função de y.
A interseção da reta y= const com a curva y=\sin x (no intervalo considerado) é x=\arcsin(y).
A interseção da mesma reta com a curva y=\cos x (no intervalo considerado) é x=\operatorname{arccos}(y).
Observação útil: para y\in[0,1] vale \arcsin(y)+\operatorname{arccos}(y)=\dfrac{\pi}{2}.
Para 0\le y\le \dfrac{1}{\sqrt{2}} tem-se \arcsin(y)\le \dfrac{\pi}{4}\le \operatorname{arccos}(y), então x_{\text{esq}}(y)=\arcsin(y) e x_{\text{dir}}(y)=\operatorname{arccos}(y).
Para \dfrac{1}{\sqrt{2}}\le y\le1 as ordens trocam, mas o integrando x_{\text{dir}}^2-x_{\text{esq}}^2 será sempre o valor positivo |\operatorname{arccos}^2(y)-\arcsin^2(y)|.
Passo 4
Expressar x_{\text{dir}}(y)^2-x_{\text{esq}}(y)^2 de forma conveniente.
Use \operatorname{arccos}(y)=\dfrac{\pi}{2}-\arcsin(y). Defina a(y):=\arcsin(y).
Então, para cada y,
\operatorname{arccos}^2(y)-\arcsin^2(y) =\Bigl(\frac{\pi}{2}-a\Bigr)^2 - a^2 = \frac{\pi^2}{4} - \pi a.
A diferença de quadrados pode ficar negativa dependendo de a, por isso tomamos o valor positivo (o integrando da área é sempre não negativo). Assim podemos escrever
Verificação por método alternativo (intuição / consistência).
Uma verificação alternativa é usar o método das cascas cilíndricas (cylindrical shells) com fatias verticais: para cada x\in[0,\pi/2] a casca tem raio x e altura |\cos x-\sin x|, dando
V = 2\pi\int_{0}^{\pi/2} x\,\bigl|\cos x - \sin x\bigr|\,dx.
Aplicando simetria e transformações (dividindo no ponto x=\pi/4 e usando u=\pi/2-x em metade da integral) simplifica-se essa integral e obtém-se o mesmo valor para V apresentado acima (essa verificação é útil na prova para conferir coerência entre métodos).