Em cada um dos exercícios 7 a 10 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método das cascas cilíndricas, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado. R: y=\frac{1}{4-x^{2}}, x=0, x=1, y=0; E : reta y=2
Passo 1
O enunciado dá a região R e pede o volume do sólido obtido ao girá‑la em torno da reta E:\;y=2, usando o método das cascas cilíndricas. Vou listar com clareza o que temos e o que é pedido.
Curvas que limitam R:
cima: y=\dfrac{1}{4-x^{2}},
esquerda: x=0,
direita: x=1,
baixo: y=0.
Eixo de rotação: E:\;y=2 (reta horizontal).
O que pedem: calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno de y=2 aplicando o método das cascas cilíndricas.
Informações úteis (tiradas do enunciado):
A função y=f(x)=\dfrac{1}{4-x^{2}} é definida e positiva em [0,1].
Em x=0 tem f(0)=\dfrac{1}{4} e em x=1 tem f(1)=\dfrac{1}{3}. Portanto a altura máxima da região é \dfrac{1}{3} e a mínima é 0.
Passo 2
Princípio do método das cascas cilíndricas (explicação didática e sem pular etapas).
Quando o eixo de rotação é horizontal (aqui y=2), fazemos fatias horizontais (retângulos paralelos ao eixo). Cada fatia, ao girar em torno de y=2, gera uma casca cilíndrica.
Fórmula geral das cascas: para fatias horizontais, cada casca tem:
raio r(y)= distância entre a fatia (na altura y) e o eixo y=2. Logo \;r(y)=2-y.
altura da casca h(y)= comprimento da interseção da linha y= constante com a região R (medida em x).
espessura \;dy.
Volume de uma casca elementar: \;dV = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\cdot(\text{espessura}) = 2\pi r(y)h(y)\,dy.
Aqui é importante entender o que é h(y): para cada y fixo, h(y) é o comprimento do conjunto de x\in[0,1] tal que 0\le y\le f(x), isto é, o comprimento horizontal da região naquele nível y.
Passo 3
Determinar os limites de integração em y e expressar h(y) (observação da geometria).
A região tem y variando de baixo y_{\min}=0 até o maior valor do teto sobre [0,1], que é y_{\max}=f(1)=\dfrac{1}{3}. Portanto integraremos em y de 0 a \dfrac{1}{3}.
Em princípio h(y) pode variar com y de forma diferente em subintervalos, porque f(x) não é constante. Se tentássemos escrever h(y) explicitamente poderíamos ter que dividir casos (como notei na análise: para 0\le y\le \tfrac{1}{4} a interseção em x é o intervalo [0,1], enquanto para \tfrac{1}{4}<y\le \tfrac{1}{3} a interseção é [x_0(y),1] com x_0(y) definido pela inversa da curva). Isso leva a uma expressão em duas parcelas.
Para evitar a complicação e ainda aplicar o método das cascas, vamos usar a técnica de trocar a ordem de integração (Fubini) no contexto das cascas: escrever h(y) como integral em x usando a função indicadora e então trocar integrais. Isso é perfeitamente válido para esta região bem comportada e simplifica muito a computação.
Passo 4
Escrever o volume como integral dupla e trocar a ordem (passo chave que facilita o cálculo mantendo o método das cascas).
Começamos com a expressão das cascas:
V = 2\pi \int_{0}^{\tfrac{1}{3}} (2-y)\,h(y)\,dy.
Agora escrevemos h(y) como integral em x: para cada y, h(y)=\displaystyle\int_{0}^{1} \mathbf{1}_{\{f(x)\ge y\}}\,dx, onde \mathbf{1}_{\{f(x)\ge y\}} é a função indicadora que vale 1 se y\le f(x) e 0 caso contrário.
Assim
V = 2\pi \int_{0}^{\tfrac{1}{3}} (2-y)\left(\int_{0}^{1} \mathbf{1}_{\{f(x)\ge y\}}\,dx\right) dy.
Troca de ordem de integração (aplicando Fubini/Tonelli; a região é limitada e as funções são não negativas, então a troca é segura):
V = 2\pi \int_{0}^{1} \left(\int_{0}^{f(x)} (2-y)\,dy \right) dx.
Esta é uma forma muito prática: corresponde a somar, para cada coluna vertical em x, o volume gerado pelas fatias horizontais daquele topo y=f(x).
Passo 5
Calcular a integral interna em y: \displaystyle\int_{0}^{f(x)} (2-y)\,dy.
Esta integral é simples de calcular passo a passo:
Avaliando em \theta=\pi/6: \operatorname{sec}(\pi/6)=\dfrac{2}{\sqrt{3}}, \tan(\pi/6)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Então \operatorname{sec}\tan=\dfrac{2}{3} e \operatorname{sec}+\tan=\sqrt{3} (pois \dfrac{2}{\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}).
Em \theta=0: \sec0=1,\\ \tan0=0, então contribuição nula do log e do termo \operatorname{sec}\tan.