Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=\operatorname{arcsen}(x y)

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y)=\arcsin(xy)
definir n como um nível de f, ou seja, encontrar todos os possíveis valores de n (isto é, o contradomínio da \arcsin) e, para cada n, descrever analiticamente o conjunto de nível
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)=n\},
além de dar sua representação geométrica quando possível.

Passo 2

Como \arcsin tem contradomínio
[-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}],
os valores possíveis de n são
n\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}\bigr].

Passo 3

Para cada valor n nesta faixa, o conjunto de nível é dado por
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\mid \arcsin(xy)=n\}.
Aplicando \sin em ambos os lados (lembrando que \sin(\arcsin(t))=t para t\in[-1,1]), obtemos
xy=\sin(n).
Portanto, analiticamente,
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid xy=\sin(n)\}.

Passo 4

Geometricamente, xy= constante é uma família de hipérboles retas centradas na origem, com dois ramos:
– Se \sin(n)>0, a hipérbole tem ramos nos quadrantes I e III.
– Se \sin(n)<0, a hipérbole tem ramos nos quadrantes II e IV.
– Se \sin(n)=0 (isto é, n=0), a “hipérbole” degenera nas retas coordenadas x=0 ou y=0, pois xy=0 implica x=0 ou y=0.

Resposta

Os valores possíveis de n são
n\in\bigl[-\tfrac{\pi}{2},\;\tfrac{\pi}{2}\bigr],
e para cada n tem-se
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\mid xy=\sin(n)\},
que são hipérboles (ou no caso \sin(n)=0, as retas x=0 e y=0).

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