Nos exercícios 1. a 8. descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do
\mathbb{R}^{2} ou do
\mathbb{R}^{3} que torna a expressão que define a função, verdadeira em
\mathbb{R}
f(x, y, z)=y+\sqrt{25-x^{2}-y^{2}-z^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o maior domínio de definição da função de três variáveis
f(x,y,z)=y+\sqrt{25 - x^{2} - y^{2} - z^{2}},
isto é, o subconjunto de \mathbb{R}^{3} onde a expressão dentro da raiz quadrada é não negativa. Vamos usar a condição de existência da raiz real para determinar esse domínio e depois descrever sua forma geométrica.

Passo 2

Para que \sqrt{25 - x^{2} - y^{2} - z^{2}} seja um número real, precisamos ter
25 - x^{2} - y^{2} - z^{2} \;\ge\; 0.
Essa desigualdade é a única restrição sobre (x,y,z), pois não há outros termos que impeçam a definição de f.

Passo 3

Reescrevendo a desigualdade, o domínio D é
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 25\bigr\}.
Em palavras, D é o conjunto de todos os pontos cujo quadrado da distância à origem não ultrapassa 25.

Passo 4

Geometricamente, o conjunto
x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 25
é a bola sólida de raio 5 centrada na origem (0,0,0) em \mathbb{R}^{3}. No esboço, representaríamos uma esfera de raio 5 preenchida por dentro.

Resposta

O domínio de definição de
f(x,y,z)=y+\sqrt{25 - x^{2} - y^{2} - z^{2}}
é
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le 25\bigr\},
ou seja, a bola sólida de raio 5 centrada na origem.

Exercícios relacionados