Nos exercícios 1. a 8. descreva e esboce o maior domínio possível da função real de duas ou de três variáveis, isto é, descreva analiticamente e represente geometricamente o maior subconjunto do
\mathbb{R}^{2} ou do
\mathbb{R}^{3} que torna a expressão que define a função, verdadeira em
\mathbb{R}
f(x, y, z)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}+\sqrt{9-y^{2}}}{\sqrt{1-z^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o maior domínio em \mathbb{R}^3 da função
f(x,y,z)=\frac{\sqrt{4-x^{2}}+\sqrt{9-y^{2}}}{\sqrt{1-z^{2}}}
ou seja, devemos encontrar o conjunto de todos os (x,y,z) que tornam cada raiz real e o denominador não nulo.

Passo 2

Para a parcela \sqrt{4 - x^2} ser real, é preciso
4 - x^2 \ge 0
isto é,
-2 \le x \le 2.

Passo 3

Para \sqrt{9 - y^2} ser real, é preciso
9 - y^2 \ge 0
isto é,
-3 \le y \le 3.

Passo 4

No denominador temos \sqrt{1 - z^2}. Para ela ser real e não zero, exigimos
1 - z^2 > 0
ou seja,
-1 < z < 1.

Passo 5

Combinando essas três condições, o domínio é o produto cartesiano dos intervalos encontrados em cada variável.

Passo 6

Geometricamente, esse domínio é um paralelepípedo retangular em \mathbb{R}^3 cujas arestas estão alinhadas aos eixos x, y e z, com
– comprimento ao longo de x de -2 até 2,
– comprimento ao longo de y de -3 até 3,
– espessura ao longo de z de -1 até 1, sem incluir as faces z=\pm1.

Resposta

O domínio de f é
D = \bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid -2 \le x \le 2,\;-3 \le y \le 3,\;-1 < z < 1\bigr\},
que geometricamente é um paralelepípedo retangular de vértices em (-2,-3,-1) até (2,3,1), excluindo as faces z=-1 e z=1.

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