Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y, z)=x+y+z

Passo 1

O enunciado fornece a função
f\colon \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R},\quad f(x,y,z)=x+y+z
e pede três coisas: encontrar todos os valores possíveis de n (imagem de f), descrever analiticamente o conjunto de nível \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y,z)\mid f(x,y,z)=n\}
e, se possível, dar sua representação geométrica.

Passo 2

Para determinar a imagem de f, dado um n\in\mathbb{R} basta resolver
x+y+z=n.
Por exemplo, podemos escolher x=n, y=0, z=0 e obtemos f(n,0,0)=n. Logo, todo número real n é atingido por f. Assim,
\mathrm{Im}(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

O conjunto de nível para um n fixo é
\mathcal{C}_{n}(f) =\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=n\}.
Isto é, a equação que define \mathcal{C}_{n}(f) é
x+y+z=n.

Passo 4

Geometricamente, \mathcal{C}_{n}(f) é um plano em \mathbb{R}^3 cuja normal é o vetor
\bigl(1,1,1\bigr).
Para valores diferentes de n obtemos planos paralelos entre si, deslocados ao longo da direção de (1,1,1). A distância desse plano à origem é \bigl|n\bigr|/\sqrt{3}.

Resposta

Todos os valores possíveis de n são os números reais, isto é, n\in\mathbb{R}.
O conjunto de nível é
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x+y+z=n\},
que corresponde a um plano de \mathbb{R}^3 ortogonal a (1,1,1) e deslocado de distância \lvert n\rvert/\sqrt{3} em relação à origem.

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