Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y, z)=z-x^{2}-y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para estudar os conjuntos de nível \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid f(x,y,z)=n\}
da função
f(x,y,z)=z - x^2 - y^2,
identificar todos os valores possíveis de n e descrever analiticamente e geometricamente cada superfície de nível. O conteúdo é “superfícies de nível” em funções de três variáveis.

Passo 2

Para encontrar \mathcal{C}_{n}(f), imponho
f(x,y,z)=n \quad\Longleftrightarrow\quad z - x^2 - y^2 = n \quad\Longleftrightarrow\quad z = x^2 + y^2 + n.

Passo 3

Como x, y e z variam livremente em \mathbb{R}, a expressão z - x^2 - y^2 pode assumir qualquer valor real. Logo o conjunto-valor de f é todo \mathbb{R} e, portanto, todos os n\in\mathbb{R} são possíveis.

Passo 4

Analiticamente, para cada n\in\mathbb{R}
\mathcal{C}_{n}(f) =\bigl\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z = x^2 + y^2 + n\bigr\}.
Geometricamente, \mathcal{C}_{n}(f) é um paraboloide circular de revolução em torno do eixo z que “abre” para cima, com vértice em (0,0,n).
  • Se tomarmos um plano horizontal z = z_0, a interseção é o círculo
x^2 + y^2 = z_0 - n,
que existe apenas para z_0\ge n.
  • Se cortarmos por um plano vertical, obtemos uma parábola.

Resposta

Os valores possíveis de n são todos os reais, e
\mathcal{C}_{n}(f) =\{(x,y,z)\mid z = x^2 + y^2 + n\},
que são paraboloides circulares com vértice em (0,0,n).

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