Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=\frac{x}{y-1}

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f\colon \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid y\neq1\}\to\mathbb{R}, \qquad f(x,y)=\frac{x}{y-1},
que a gente chame de n um valor de nível e ache todos os possíveis n. Depois, definimos
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\mid f(x,y)=n\}
e precisamos descrever analiticamente cada \mathcal{C}_n(f) e, se der, indicar a interpretação geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quais valores n realmente ocorrem como f(x,y). A equação
n=\frac{x}{y-1}
pode ser rearranjada, para dado n, em
x = n\,(y-1).
Para qualquer n\in\mathbb{R} podemos escolher, por exemplo, y=2 e x=n, obtendo um ponto válido y\neq1. Logo o conjunto imagem de f é todo \mathbb{R}. Portanto os valores possíveis de n são n\in\mathbb{R}.

Passo 3

Agora descrever \mathcal{C}_n(f). Há dois casos:
  1. Se n=0,
\frac{x}{y-1}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=0,
mantendo y\neq1. Logo
\mathcal{C}_0(f)=\{(x,y)\mid x=0,\;y\neq1\}.
  1. Se n\neq0,
\frac{x}{y-1}=n \quad\Longleftrightarrow\quad x=n\,(y-1).
Mais explicitamente,
\mathcal{C}_n(f) =\{(x,y)\mid x-n(y-1)=0,\;y\neq1\}.

Passo 4

Geometricamente, para cada n\neq0, \mathcal{C}_n(f) é a reta
x=n(y-1) \\ \Longleftrightarrow\\ y-1=\frac{x}{n} \\ \Longleftrightarrow\\ y=\frac{x}{n}+1,
isto é, uma reta de coeficiente angular 1/n e que “passaria” por (0,1), mas note que (0,1) não pertence ao domínio (é excluído). No caso n=0, \mathcal{C}_0(f) é simplesmente o eixo y (reta x=0) sem o ponto (0,1).

Resposta

Os possíveis valores de n\) são todos os reais, \(n\in\mathbb{R}\). Para cada \(n\in\mathbb{R},\) \[\mathcal{C}_n(f)= \begin{cases} \{(x,y)\mid x=0,\;y\neq1\},&n=0,\\[6pt] \{(x,y)\mid x=n(y-1),\;y\neq1\},&n\neq0. \end{cases}
Geometricamente, \mathcal{C}_0\] é o eixo \(y excluindo (0,1), e para n\neq0 cada \mathcal{C}_n é uma reta de equação y=\tfrac{x}{n}+1, também sem o ponto (0,1).]

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