Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de
o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de
. Chame de
o conjunto de nível
de
e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível
da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para chamar de
o nível de
, encontrar todos os valores possíveis de
, definir
e descrever analiticamente e geometricamente esses conjuntos de nível. O conteúdo aqui é “conjunto de nível” (level set) de uma função de duas variáveis.
e descrever analiticamente e geometricamente esses conjuntos de nível. O conteúdo aqui é “conjunto de nível” (level set) de uma função de duas variáveis.
Passo 2
Para descobrir que valores
pode assumir, observamos que
Logo o conjunto imagem de
é
isto é, só fazem sentido níveis
.
Passo 3
Por definição
Há três casos a analisar:
-
: não há solução real de , então . -
: a única solução é e , logo . -
: a equação define todas as circunferências de raio centradas na origem.
Passo 4
Geometricamente cada nível é
– vazio, se ;
– um ponto na origem, se ;
– uma circunferência de raio , se
.
– vazio, se
– um ponto na origem, se
– uma circunferência de raio
Resposta
Para a função
:
– Valores possíveis de :
. Níveis com
não ocorrem.
– , se
.
– .
– , circunferência de raio
(para
).
– Valores possíveis de
–
–
–