Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}
e pede para chamar de n o nível de f, encontrar todos os valores possíveis de n, definir \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\mid f(x,y)=n\}
e descrever analiticamente e geometricamente esses conjuntos de nível. O conteúdo aqui é “conjunto de nível” (level set) de uma função de duas variáveis.

Passo 2

Para descobrir que valores n pode assumir, observamos que
x^{2}\ge0,\quad y^{2}\ge0\quad\Longrightarrow\quad x^{2}+y^{2}\ge0.
Logo o conjunto imagem de f é
f(\mathbb{R}^{2})=[0,\infty),
isto é, só fazem sentido níveis n\ge0.

Passo 3

Por definição
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=n\}.
Há três casos a analisar:
  1. n<0: não há solução real de x^{2}+y^{2}=n, então \mathcal{C}_{n}(f)=\varnothing.
  2. n=0: a única solução é x=0 e y=0, logo \mathcal{C}_{0}(f)=\{(0,0)\}.
  3. n>0: a equação x^{2}+y^{2}=n define todas as circunferências de raio \sqrt{n} centradas na origem.

Passo 4

Geometricamente cada nível é
– vazio, se n<0;
– um ponto na origem, se n=0;
– uma circunferência de raio \sqrt{n}, se n>0.

Resposta

Para a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}:
– Valores possíveis de n: n\in[0,\infty). Níveis com n<0 não ocorrem.
\mathcal{C}_{n}(f)=\varnothing, se n<0.
\mathcal{C}_{0}(f)=\{(0,0)\}.
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x^{2}+y^{2}=n\}, circunferência de raio \sqrt{n} (para n>0).

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