Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x,y)=y\sin x,
que a gente chame de n o valor de nível e determine todos os possíveis n. Depois, devemos descrever analiticamente cada conjunto de nível
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid f(x,y)=n\}
e, se possível, falar como eles aparecem geometricamente.

Passo 2

Para saber quais valores n podem ocorrer, observamos que pela equação
y\sin x=n
podemos atingir qualquer real n: basta escolher x tal que \sin x\neq0 e definir y=n/\sin x. Quando \sin x=0, só dá para ter n=0. Logo o conjunto-valor (a imagem de f) é
\{\,n\in\mathbb{R}\}\;=\;\mathbb{R}.

Passo 3

Caso n=0, a equação y\sin x=0 é satisfeita sempre que
y=0 (independente de x), ou
\sin x=0, isto é, x=k\pi, k\in\mathbb{Z} (com qualquer y).
Portanto
\mathcal{C}_{0}(f) =\{(x,y)\mid y=0\}\;\cup\;\{(x,y)\mid x=k\pi,\;k\in\mathbb{Z}\}.

Passo 4

Caso n\neq0, não podemos ter \sin x=0, pois daí y\sin x seria zero. Logo \sin x\neq0 e
y=\frac{n}{\sin x}.
Assim
\mathcal{C}_{n}(f) =\Bigl\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\neq k\pi,\;y=\tfrac{n}{\sin x}\Bigr\}.

Passo 5

Geometricamente, para n=0 temos a união da reta horizontal y=0 com as retas verticais x=k\pi. Para cada n\neq0, obtemos curvas periódicas (uma “ramificação” em cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi)) definidas pelo gráfico de y=n/\sin x, que divergem quando x\to k\pi.

Resposta

Os valores possíveis de n são todos os reais, ou seja, n\in\mathbb{R}. Para cada n,
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\mid y\sin x=n\}.
Em particular:
– Se n=0,
\mathcal{C}_{0}(f)=\{y=0\}\cup\{x=k\pi\,\mid\,k\in\mathbb{Z}\}.
– Se n\neq0,
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\mid x\neq k\pi,\;y=n/\sin x\}.

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