EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
O potencial elétrico V no ponto ( x, y, z ) é dado por
V=6 /\left(x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}\right)^{1 / 2} .
(a) Descreva as superfícies eqüipotenciais, isto é, as superfícies de nível de V que representam pontos onde o potencial elétrico é constante.
(b) Ache a equação da superfície eqüipotencial V=120.

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico
V = \frac{6}{\bigl(x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2}\bigr)^{1/2}}
no ponto (x,y,z) e pede (a) a descrição geométrica das superfícies onde V é constante (superfícies equipotenciais) e (b) a equação da equipotencial para V=120. Vamos usar o conceito de superfície de nível de uma função de três variáveis.

Passo 2

Para uma constante genérica V_0, a definição de superfície de nível é
\frac{6}{\bigl(x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2}\bigr)^{1/2}} = V_0.
Isolando a parte com as variáveis, temos
\bigl(x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2}\bigr)^{1/2} = \frac{6}{V_0}
e elevando ao quadrado:
x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} = \Bigl(\frac{6}{V_0}\Bigr)^{2}.
Essa é a equação de um elipsoide centrado na origem, com semieixos proporcionais a \tfrac{6}{V_0}, \tfrac{6}{2V_0} e \tfrac{6}{3V_0}.

Passo 3

Agora especializamos para V_0 = 120. Substituindo em
x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} = \Bigl(\frac{6}{120}\Bigr)^{2}
vemos que
\frac{6}{120} = \frac{1}{20},
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x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} = \Bigl(\frac{1}{20}\Bigr)^{2} = \frac{1}{400}.

Resposta

(a) As superfícies equipotenciais são elipsoides centrados na origem, dados por
x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} = \Bigl(\frac{6}{V}\Bigr)^{2}.
(b) Para V=120, a equipotencial é
x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} = \frac{1}{400}.

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