Em cada um dos exercícios 24. a 31. chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y, z, w)=\frac{\sqrt{x-y}}{z-w}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais: (i) encontrar todos os possíveis valores do nível n da função
f(x,y,z,w)=\frac{\sqrt{x-y}}{z-w},
isto é, determinar todos os n\in\mathbb{R} tais que existe (x,y,z,w) com f(x,y,z,w)=n; (ii) para cada n dado, descrever analiticamente o conjunto de nível
\mathcal{C}_n(f)=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4:\;x-y\ge 0,\;z-w\neq 0,\;\frac{\sqrt{x-y}}{z-w}=n\},
e, se possível, dar uma interpretação geométrica desses conjuntos. Informações dadas e restrições visíveis: x-y aparece dentro de uma raiz quadrada, logo precisamos de x-y\ge 0; z-w está no denominador, logo precisamos de z-w\neq 0. Não resolvo nada ainda, só defini o que é pedido e as restrições iniciais.

Passo 2

Analisando a equação de nível \frac{\sqrt{x-y}}{z-w}=n. Para interpretar e manipular essa igualdade, observe duas coisas importantes sobre os termos:
  • A raiz quadrada dá sempre um valor não‑negativo, isto é, \sqrt{x-y}\ge 0.
  • O denominador não pode ser zero: z-w\neq 0.
    Portanto a igualdade é válida somente quando (x,y,z,w) satisfazem x-y\ge 0 e z-w\neq 0. Vou usar essas condições em todos os passos seguintes.

Passo 3

Reescrevemos a equação de nível explicita e cuidadosamente:
\frac{\sqrt{x-y}}{z-w}=n.
Multiplicando ambos os lados por z-w (permitido porque exigimos z-w\neq 0), obtemos
\sqrt{x-y}=n\,(z-w).
Aqui é crucial lembrar que o lado esquerdo é \ge 0. Logo temos a obrigatoriedade da condição de sinal
n\,(z-w)\ge 0.
Isso significa que z-w tem o mesmo sinal de n (ou qualquer sinal se n=0).

Passo 4

Para eliminar a raiz e obter uma condição mais fácil de manipular, podemos elevar ao quadrado a igualdade \sqrt{x-y}=n(z-w). Elevando ambos os lados ao quadrado obtemos
x-y = n^2 (z-w)^2.
Ao fazer esse passo devemos manter a condição extra de sinal já mencionada: a igualdade ao quadrado é necessária, mas não suficiente se não lembrarmos que \sqrt{x-y}\ge 0. Portanto a equivalência completa entre as formas é:
\frac{\sqrt{x-y}}{z-w}=n \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases} x-y = n^2 (z-w)^2,\\[4pt] z-w\neq 0,\\[4pt] n\,(z-w)\ge 0. \end{cases}]

Passo 5

Agora trato os dois casos separados: n=0 e n\neq 0.
Caso n=0:
A igualdade original vira \frac{\sqrt{x-y}}{z-w}=0. Como divisor não pode ser zero, isso é equivalente a \sqrt{x-y}=0, ou seja x-y=0, com a restrição z-w\neq 0. Portanto
\mathcal{C}_0(f)=\{(x,y,z,w): x-y=0,\; z-w\neq 0\}.
Geométrica e intuitivamente: é o hiperplano x=y no \mathbb{R}^4, menos a interseção com o hiperplano z=w (porque precisamos excluir z-w=0). Esse conjunto tem dimensão 3 (um hiperplano 3D no \mathbb{R}^4).

Passo 6

Caso n\neq 0:
A condição obtida no Passo 4 é
x-y = n^2 (z-w)^2,\qquad z-w\neq 0,\qquad n\,(z-w)\ge 0.
Como n\neq 0, a restrição n(z-w)\ge 0 pode ser reescrita como (z-w) tem o mesmo sinal de n; ou seja, se n>0 então z-w>0, e se n<0 então z-w<0. Note que a equação quadrática fixa apenas a relação entre a diferença x-y (sempre \ge 0) e o quadrado (z-w)^2. Em particular, (z-w) não pode ser zero (já exigido), e x-y é então estritamente positivo para n\neq 0.

Passo 7

Parametrização prática (útil para usar na prova): para n\neq 0 podemos introduzir um parâmetro t=z-w com t\neq 0 e exigindo n t\ge 0. Então
x-y = n^2 t^2.
Logo, uma parametrização simples do conjunto de nível é: escolha arbitrariamente y\in\mathbb{R}, w\in\mathbb{R} e um t\in\mathbb{R}\setminus\{0\} com n t\ge 0; então
x = y + n^2 t^2,\qquad z = w + t.
Todos os pontos gerados dessa forma satisfazem \frac{\sqrt{x-y}}{z-w}=n. Isso mostra que \mathcal{C}_n(f) (para n\neq 0) é um conjunto de dimensão 3 também (três graus de liberdade y,w,t com uma desigualdade sobre t).

Passo 8

Interpretação geométrica (resumo claro e visualizável):
  • Considere as variáveis combinadas u=x-y\ge 0 e v=z-w\neq 0. A equação de nível, após o quadrado, vira u = n^2 v^2 com a restrição n v\ge 0. No plano (v,u) (onde u\ge 0 e v\neq 0) isso é a parábola u = n^2 v^2 (no sentido vertical u em função de v), mas mantemos apenas o ramo de v cujo sinal coincide com n. O conjunto de nível completo em \mathbb{R}^4 é essa parábola “transladada” / “cilindrada” ao longo das direções livres (escolha arbitrária de y e w): portanto é um cilindro pleno sobre essa curva parabólica no subespaço das diferenças (x-y,z-w).
  • Para n=0 a parábola degenera em u=0, isto é, a reta u=0 no plano (v,u), mas com v\neq 0; no \mathbb{R}^4 isso é o hiperplano x=y excluindo z=w.

Passo 9

Agora respondo claramente qual é o conjunto de valores possíveis para n. Para qualquer n\in\mathbb{R} consigo construir um exemplo concreto que satisfaz a equação de nível: escolha t\neq 0 com sinal igual ao de n (se n=0 qualquer t\neq 0 serve), defina z-w=t e x-y=n^2 t^2; completando com valores arbitrários de y e w obtemos um ponto no domínio que dá f=n. Assim não há restrição sobre n: todos os reais aparecem como níveis possíveis. Portanto o conjunto de valores possíveis de n é \mathbb{R}.

Resposta

Valores possíveis de n: \mathbb{R}.\n
Para n=0: \displaystyle \mathcal{C}_0(f)=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4:\;x-y=0,\;z-w\neq 0\}.\n
Para n\neq 0: \displaystyle \mathcal{C}_n(f)=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4:\;x-y=n^{2}(z-w)^{2},\;z-w\neq 0,\;n\,(z-w)\ge 0\}, que pode ser parametrizada por y,w\in\mathbb{R} e t=z-w\in\mathbb{R}\setminus\{0\} com n t\ge 0 via x=y+n^{2}t^{2},\;z=w+t.

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