Encontre a solução geral das EDOs em cada item abaixo:
y^{\prime \prime}+y=\tan (t) \operatorname{com} 0<t<\frac{\pi}{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária
y''+y=\tan(t),\qquad 0<t<\frac{\pi}{2}.
Informações dadas relevantes:
  • A EDO é linear, de segunda ordem, não homogênea.
  • O termo não-homogêneo é \tan(t).
  • O domínio 0<t<\frac{\pi}{2} garante \cos t>0, então \tan t e \operatorname{sec} t+\tan t são funções bem comportadas (sem singularidade) nesse intervalo.
  • Precisamos da solução geral, isto é, solução homogênea mais uma solução particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada
y''+y=0.
A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=\pm i. Da teoria de EDOs com raízes complexas, as soluções fundamentais são \cos t e \sin t. Logo a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1\cos t + C_2\sin t,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p de
y''+y=\tan t.
Como o lado direito \tan t não é da forma polinomial/exponencial/seno/cosseno simples que o método dos coeficientes indeterminados trata facilmente, escolhemos o método de variação de parâmetros. Esse método funciona bem quando conhecemos duas soluções fundamentais da homogênea (aqui \cos t e \sin t) e quando a função for contínua no intervalo considerado (aqui é contínua em 0<t<\pi/2).

Passo 4

Tomamos as soluções fundamentais
y_1(t)=\cos t,\qquad y_2(t)=\sin t.
O wronskiano é
W(t)=\begin{vmatrix}\cos t & \sin t\\\\ -\sin t & \cos t\end{vmatrix}=\cos^2 t+\sin^2 t=1.
As fórmulas de variação de parâmetros para \;y''+y=f(t)\; com W=1 dão
u_1'(t)=-y_2(t)f(t),\qquad u_2'(t)=y_1(t)f(t),
onde f(t)=\tan t.

Passo 5

Calculemos u_1'(t) e u_2'(t):
u_1'(t)=-\sin t\cdot \tan t = -\sin t\cdot\frac{\sin t}{\cos t} = -\frac{\sin^2 t}{\cos t}.
u_2'(t)=\cos t\cdot \tan t = \cos t\cdot\frac{\sin t}{\cos t} = \sin t.
Agora integramos para obter u_1 e u_2. Para u_1 simplificamos o integrando: \sin^2 t=1-\cos^2 t, então
u_1'(t)=-\frac{1-\cos^2 t}{\cos t} = -\operatorname{sec} t + \cos t.
Logo
u_1(t)=\int\big(-\operatorname{sec} t + \cos t\big)\,dt = -\int \operatorname{sec} t\,dt + \int \cos t\,dt.
Lembrando a primitiva conhecida
\int \operatorname{sec} t\,dt=\ln\big|\operatorname{sec} t+\tan t\big| + C,
(nesta integral uma demonstração rápida é: escrever \operatorname{sec} t=\frac{\operatorname{sec} t(\operatorname{sec} t+\tan t)}{\operatorname{sec} t+\tan t} e notar que o numerador é \operatorname{sec}^2 t+\operatorname{sec} t\tan t, cuja primitiva é \ln(\operatorname{sec} t+\tan t)). Assim, escolhendo a constante de integração zero (constantes serão absorvidas pela solução homogênea),
u_1(t) = -\ln\big(\operatorname{sec} t+\tan t\big) + \sin t.
Observação: no intervalo dado \operatorname{sec} t+\tan t>0, então podemos omitir as barras de valor absoluto.

Passo 6

Integramos u_2'(t)=\sin t:
u_2(t)=\int \sin t\,dt = -\cos t,
novamente escolhendo a constante de integração igual a zero (qualquer constante somada a u_2 geraria termos da homogênea).

Passo 7

A solução particular dada por variação de parâmetros é
y_p(t)=u_1(t)y_1(t)+u_2(t)y_2(t).
Substituindo:
y_p(t)=\big(-\ln(\operatorname{sec} t+\tan t)+\sin t\big)\cos t + (-\cos t)\sin t.
Agrupando termos:
y_p(t)=-\cos t\ln(\operatorname{sec} t+\tan t) + \sin t\cos t - \sin t\cos t.
Os termos \sin t\cos t se cancelam, sobrando
y_p(t)=-\cos t\ln(\operatorname{sec} t+\tan t).

Passo 8

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com uma particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1\cos t + C_2\sin t - \cos t\ln\big(\operatorname{sec} t+\tan t\big),
válida em 0<t<\dfrac{\pi}{2}. Isso conclui a resolução.

Resposta

y(t)=C_1\cos t + C_2\sin t - \cos t\ln\big(\operatorname{sec} t+\tan t\big)

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