\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2} y}{2 x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O que o problema pede: calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas importantes:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}y}{2x^{2}+y^{2}}, definida para (x,y)\neq(0,0) (o denominador só é zero no ponto (0,0)).
  • Queremos saber se existe um único valor que a expressão aproxima quando (x,y) se aproxima de (0,0) por qualquer caminho.
  • Se ao aproximarmos por caminhos diferentes obtemos limites distintos, o limite em duas variáveis não existe.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática):
  • Em funções de duas variáveis, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) existe somente se o mesmo valor é obtido por qualquer sequência ou caminho que leve (x,y) a (0,0).
  • Um método prático para detectar ausência de limite é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes (por exemplo: y=0, x=0, y=kx); se derem resultados diferentes, o limite não existe.
  • Usaremos a propriedade clássica do seno perto de zero:
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1,
o que implica
\lim_{t\to 0}\frac{\sin^2 t}{t^2}=1.
Intuição: para pequenos t, \sin t comporta-se como t, então \sin^2 t comporta-se como t^2.

Passo 3

Limite ao longo do eixo y=0:
  • Se escolhermos o caminho y=0 e (x,0)\to(0,0), a expressão fica
\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}0}{2x^{2}+0}=\frac{x^{2}+0}{2x^{2}}=\frac{1}{2}.
  • Portanto, ao aproximar por y=0, o limite é \displaystyle \frac{1}{2}.

Passo 4

Limite ao longo do eixo x=0:
  • Se escolhermos o caminho x=0 e (0,y)\to(0,0), a expressão fica
\frac{0+\operatorname{sen}^{2}y}{0+y^{2}}=\frac{\operatorname{sen}^{2}y}{y^{2}}.
  • Usando \displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{\operatorname{sen}^{2}y}{y^{2}}=1, concluímos que ao aproximar por x=0 o limite é 1.

Passo 5

Limite ao longo de caminhos lineares y=kx (método geral para ver dependência do caminho):
  • Substituímos y=kx na expressão (com k fixo e x\to 0):
\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(kx)}{2x^{2}+(kx)^{2}}=\frac{x^{2}+\operatorname{sen}^{2}(kx)}{(2+k^{2})x^{2}}.
  • Dividindo numerador e denominador por x^{2} (válido para x\neq0):
\frac{1+\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(kx)}{x^{2}}}{2+k^{2}}.
  • Reescrevemos \dfrac{\operatorname{sen}^{2}(kx)}{x^{2}}=k^{2}\left(\dfrac{\operatorname{sen}(kx)}{kx}\right)^{2}. Como \displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}t}{t}=1, temos
\lim_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(kx)}{x^{2}}=k^{2}.
  • Logo o limite ao longo de y=kx é
\frac{1+k^{2}}{2+k^{2}}.

Passo 6

Conclusão sobre existência do limite usando os resultados dos passos anteriores:
  • Para k=0 (isto é, y=0) obtemos \dfrac{1+0}{2+0}=\dfrac{1}{2}, que coincide com o resultado do Passo 3.
  • Para o caminho x=0 (que corresponde a inclinações “infinitas”), o resultado foi 1, que também é o limite obtido fazendo k\to\infty na expressão \dfrac{1+k^{2}}{2+k^{2}} (essa fração tende a 1 quando k\to\infty).
  • Como já encontramos dois caminhos que dão limites diferentes ( \dfrac{1}{2} e 1), o limite da função quando (x,y)\to(0,0) não pode ser único.
  • Portanto o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

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