Passo 1
O que o problema pede: calcular
Informações dadas importantes:
- A função é
, definida para (o denominador só é zero no ponto ). - Queremos saber se existe um único valor que a expressão aproxima quando
se aproxima de por qualquer caminho. - Se ao aproximarmos por caminhos diferentes obtemos limites distintos, o limite em duas variáveis não existe.
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática):
- Em funções de duas variáveis, o limite
existe somente se o mesmo valor é obtido por qualquer sequência ou caminho que leve a . - Um método prático para detectar ausência de limite é calcular o limite ao longo de caminhos diferentes (por exemplo:
, , ); se derem resultados diferentes, o limite não existe. - Usaremos a propriedade clássica do seno perto de zero:
o que implica
Intuição: para pequenos
,
comporta-se como
, então
comporta-se como
.
Passo 3
Limite ao longo do eixo
:
- Se escolhermos o caminho
e , a expressão fica
- Portanto, ao aproximar por
, o limite é .
Passo 4
Limite ao longo do eixo
:
- Se escolhermos o caminho
e , a expressão fica
- Usando
, concluímos que ao aproximar por o limite é .
Passo 5
Limite ao longo de caminhos lineares
(método geral para ver dependência do caminho):
- Substituímos
na expressão (com fixo e ):
- Dividindo numerador e denominador por
(válido para ):
- Reescrevemos
. Como , temos
- Logo o limite ao longo de
é
Passo 6
Conclusão sobre existência do limite usando os resultados dos passos anteriores:
- Para
(isto é, ) obtemos , que coincide com o resultado do Passo 3. - Para o caminho
(que corresponde a inclinações “infinitas”), o resultado foi , que também é o limite obtido fazendo na expressão (essa fração tende a quando ). - Como já encontramos dois caminhos que dão limites diferentes (
e ), o limite da função quando não pode ser único. - Portanto o limite não existe.
Resposta
O limite não existe.