Em cada um dos exercícios chame de
o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de
. Chame de
o conjunto de nível
de
e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível
da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
As tarefas pedidas são:
- Encontrar todos os valores possíveis de
(isto é, o conjunto imagem de ). - Para cada
dado, descrever analiticamente o conjunto de nível . - Quando possível, descrever geometricamente esses conjuntos de nível (por exemplo: retas, curvas, assíntotas, periodicidade).
Informações relevantes do enunciado:
- A variável
e a variável são livres em todo . - A função trigonométrica usada é
, que satisfaz e zera em para . - Deve-se tratar separadamente o caso
(pois aí o produto anula-se para qualquer ).
Passo 2
O que é um conjunto de nível? Vou explicar devagar:
- Para uma função
, o conjunto de nível de nível é . - No nosso caso isso significa resolver a equação
para
, variando
.
- Para estudar a imagem (quais
são possíveis) e os conjuntos de nível, é útil separar os casos em que e .
Passo 3
Determinar todos os valores possíveis de
(a imagem de
).
Raciocínio construtivo:
- Se quisermos obter um número real qualquer
, basta escolher tal que (por exemplo ) e escolher . Então
- Logo todo
é atingido por .
Conclusão deste passo:
Passo 4
Descrever analiticamente
para
.
Resolver
com
.
- Se
então o produto é , não pode dar . Portanto, para necessariamente . - Quando
podemos isolar :
- Assim a descrição analítica é
Observações úteis (didáticas) sobre essa expressão:
- O domínio em
são todos os reais exceto os pontos onde , porque ali deveria ser infinito para satisfazer a fórmula. - Podemos também escrever
como união de ramos:
Cada intervalo aberto
fornece um ramo contínuo da curva.
Passo 5
Descrição geométrica dos conjuntos
para
(intuição para a prova):
Propriedades geométricas importantes:
- Vertical asymptotes: em
temos com sinal alternado, portanto . Logo há assíntotas verticais nas retas . - Extremos locais nos meios dos intervalos: em
tem , então
Assim em cada ramo há um ponto onde
(é o valor de menor módulo do ramo).
- Periodicidade horizontal:
tem período , logo os ramos repetem-se a cada em . - Simetria em relação ao eixo
: como , tem-se (reflexão no eixo -horizontal).
Visualização rápida: cada
(com
) é um conjunto de curvas disjuntas, uma em cada intervalo
, com comportamento tipo “U” infinito (tendendo a
e
nas extremidades do intervalo) e mínimo ou máximo (segundo o sinal) no ponto central
.
Passo 6
Descrever analiticamente
(caso especial
).
Resolver
.
- Produto nulo ocorre quando
ou (ou ambos). - Logo
Isto é, a união da reta horizontal
(o eixo
) com todas as retas verticais
(para todos os inteiros
).
Geometricamente:
é um reticulado formado pela linha horizontal
e por infinitas retas verticais igualmente espaçadas em
. Onde elas se cruzam (em pontos
) o conjunto coincide, claro.
Passo 7
Algumas observações finais e formas alternativas de apresentar as respostas (úteis na prova):
-
Resumo rápido:
- Imagem:
, logo qualquer é possível. - Para
: é o gráfico da função definido em . - Para
: é a união da reta com as retas .
- Imagem:
-
Dica prática para a prova: se pedirem “dê uma equação para o conjunto de nível”, escreva directamente
(quando e ) e escreva a condição expandida como ou quando .
Resposta
Conjunto de valores possíveis de
:
.
Para
:
Para
: