Em cada um dos exercícios chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=y \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=y\sin x.
As tarefas pedidas são:
  • Encontrar todos os valores possíveis de n (isto é, o conjunto imagem de f).
  • Para cada n dado, descrever analiticamente o conjunto de nível \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : f(x,y)=n\}.
  • Quando possível, descrever geometricamente esses conjuntos de nível (por exemplo: retas, curvas, assíntotas, periodicidade).
Informações relevantes do enunciado:
  • A variável x e a variável y são livres em todo \mathbb{R}.
  • A função trigonométrica usada é \sin x, que satisfaz \sin x\in[-1,1] e zera em x=k\pi para k\in\mathbb{Z}.
  • Deve-se tratar separadamente o caso \sin x=0 (pois aí o produto y\sin x anula-se para qualquer y).

Passo 2

O que é um conjunto de nível? Vou explicar devagar:
  • Para uma função f(x,y), o conjunto de nível de nível n é \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: f(x,y)=n\}.
  • No nosso caso isso significa resolver a equação
y\sin x = n
para (x,y)\in\mathbb{R}^2, variando n.
  • Para estudar a imagem (quais n são possíveis) e os conjuntos de nível, é útil separar os casos em que \sin x=0 e \sin x\neq0.

Passo 3

Determinar todos os valores possíveis de n (a imagem de f).
Raciocínio construtivo:
  • Se quisermos obter um número real qualquer n_0, basta escolher x tal que \sin x=1 (por exemplo x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi) e escolher y=n_0. Então
f\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\; n_0\right)=n_0\cdot\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\right)=n_0\cdot 1=n_0.
  • Logo todo n_0\in\mathbb{R} é atingido por f.
Conclusão deste passo:
\text{Conjunto de valores possíveis de }n \text{ é } \mathbb{R}.íé

Passo 4

Descrever analiticamente \mathcal{C}_{n}(f) para n\neq 0.
Resolver y\sin x=n com n\neq0.
  • Se \sin x=0 então o produto é 0, não pode dar n\neq0. Portanto, para n\neq0 necessariamente \sin x\neq0.
  • Quando \sin x\neq0 podemos isolar y:
y=\frac{n}{\sin x}.
  • Assim a descrição analítica é
\mathcal{C}_{n}(f)=\left\{\Bigl(x,\;\frac{n}{\sin x}\Bigr) : x\in\mathbb{R}\setminus\{k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\}\right\},\qquad (n\neq0).
Observações úteis (didáticas) sobre essa expressão:
  • O domínio em x são todos os reais exceto os pontos x=k\pi onde \sin x=0, porque ali y deveria ser infinito para satisfazer a fórmula.
  • Podemos também escrever \mathcal{C}_{n}(f) como união de ramos:
\mathcal{C}_{n}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left\{\Bigl(x,\frac{n}{\sin x}\Bigr):x\in\bigl(k\pi,\,(k+1)\pi\bigr)\right\}.
Cada intervalo aberto (k\pi,(k+1)\pi) fornece um ramo contínuo da curva.

Passo 5

Descrição geométrica dos conjuntos \mathcal{C}_{n}(f) para n\neq0 (intuição para a prova):
Propriedades geométricas importantes:
  • Vertical asymptotes: em x\to k\pi^\pm temos \sin x\to 0 com sinal alternado, portanto \dfrac{n}{\sin x}\to\pm\infty. Logo há assíntotas verticais nas retas x=k\pi.
  • Extremos locais nos meios dos intervalos: em x=(2k+1)\tfrac{\pi}{2} tem \sin x=\pm1, então
y\Bigl(x=(2k+1)\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{n}{\pm1}=\pm n.
Assim em cada ramo há um ponto onde |y|=\lvert n\rvert (é o valor de menor módulo do ramo).
  • Periodicidade horizontal: \sin tem período 2\pi, logo os ramos repetem-se a cada 2\pi em x.
  • Simetria em relação ao eixo y=0: como f(x,-y)=-f(x,y), tem-se \mathcal{C}_{-n}=\{(x,-y):(x,y)\in\mathcal{C}_n\} (reflexão no eixo x-horizontal).
Visualização rápida: cada \mathcal{C}_n (com n\neq0) é um conjunto de curvas disjuntas, uma em cada intervalo (k\pi,(k+1)\pi), com comportamento tipo “U” infinito (tendendo a +\infty e -\infty nas extremidades do intervalo) e mínimo ou máximo (segundo o sinal) no ponto central x=(2k+1)\tfrac{\pi}{2}.

Passo 6

Descrever analiticamente \mathcal{C}_{0}(f) (caso especial n=0).
Resolver y\sin x=0.
  • Produto nulo ocorre quando y=0 ou \sin x=0 (ou ambos).
  • Logo
\mathcal{C}_{0}(f)=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\{(k\pi,y):y\in\mathbb{R}\}.
Isto é, a união da reta horizontal y=0 (o eixo x) com todas as retas verticais x=k\pi (para todos os inteiros k).
Geometricamente: \mathcal{C}_0 é um reticulado formado pela linha horizontal y=0 e por infinitas retas verticais igualmente espaçadas em x=k\pi. Onde elas se cruzam (em pontos (k\pi,0)) o conjunto coincide, claro.

Passo 7

Algumas observações finais e formas alternativas de apresentar as respostas (úteis na prova):
  • Resumo rápido:
    • Imagem: \operatorname{Im}(f)=\mathbb{R}, logo qualquer n\in\mathbb{R} é possível.
    • Para n\neq0: \mathcal{C}_n é o gráfico da função x\mapsto n/\sin x definido em x\notin\{k\pi\}.
    • Para n=0: \mathcal{C}_0 é a união da reta y=0 com as retas x=k\pi.
  • Dica prática para a prova: se pedirem “dê uma equação para o conjunto de nível”, escreva directamente y=\dfrac{n}{\sin x} (quando n\neq0 e \sin x\neq0) e escreva a condição y\sin x=0 expandida como y=0 ou x=k\pi quando n=0.

Resposta

Conjunto de valores possíveis de n: n\in\mathbb{R}.
Para n\neq 0:
\mathcal{C}_{n}(f)=\left\{\Bigl(x,\frac{n}{\sin x}\Bigr) : x\in\mathbb{R}\setminus\{k\pi:\,k\in\mathbb{Z}\}\right\}.
Para n=0:
\mathcal{C}_{0}(f)=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\\ \cup\\ \bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\{(k\pi,y):y\in\mathbb{R}\}.

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