Em cada um dos exercícios chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=x^{2}+y^{2}-z^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas principais, usando n como o nível da função:
  • Encontrar todos os possíveis valores de n para os quais o conjunto de nível existe (ou seja, para os quais \mathcal{C}_{n}(f) é não vazio).
  • Descrever analiticamente todos os possíveis conjuntos de nível \mathcal{C}_{n}(f) da função dada e, se possível, representá‑los geometricamente.
Informações dadas (assumindo a formulação completa da função):
  • A função é f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R} definida por f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z^{2}.
  • O conjunto de nível pedido é \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=n\}.

Passo 2

O que é um conjunto de nível?
  • Para uma função f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}, o conjunto de nível de valor n é o conjunto de pontos onde a função vale exatamente n:
\mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid f(x,y,z)=n\}.
No nosso caso precisamos resolver a equação
x^{2}+y^{2}-z^{2}=n
e estudar para quais n há soluções e como esses conjuntos se parecem.

Passo 3

Reescrever a equação de forma útil e analisar existência de soluções.
A equação pode ser escrita como
x^{2}+y^{2}=n+z^{2}.
Observação importante: o lado esquerdo x^{2}+y^{2} é sempre \ge 0. Logo, para existir algum (x,y) dado um z é preciso que
n+z^{2}\ge 0.
Agora raciocinamos sobre n:
  • Se n\ge 0, então para qualquer z\in\mathbb{R} temos n+z^{2}\ge 0. Logo existem pontos para todo z (por exemplo x=\sqrt{n+z^{2}}, y=0).
  • Se n<0, basta escolher z com |z|\ge \sqrt{-n} para que n+z^{2}\ge 0. Por exemplo, tomar z=\pm\sqrt{-n} n+z^{2}=0 e x=y=0 é solução.
Conclusão intercalar: para todo n\in\mathbb{R} existe pelo menos um ponto que satisfaz a equação; portanto todos os n reais são possíveis níveis.

Passo 4

Classificação geométrica: ideia geral.
A equação x^{2}+y^{2}-z^{2}=n define uma superfície quádrupla (um “quadric surface”) cuja forma depende do sinal de n. Vamos estudar os três casos n>0, n=0 e n<0 separadamente — isso é o procedimento padrão para quadráticas com sinais mistos.

Passo 5

Caso n>0. Descrição analítica e geométrica.
  • A equação é
x^{2}+y^{2}-z^{2}=n,\qquad n>0.
  • Para qualquer valor fixo de z\in\mathbb{R} temos
x^{2}+y^{2}=n+z^{2},
onde n+z^{2}>0. Portanto a interseção com o plano z= constante é sempre um círculo de raio \sqrt{n+z^{2}}. Assim a superfície tem círculos para todas as alturas z e é conectada.
  • Pode‑se escrever em forma padrão dividindo por n:
\frac{x^{2}}{n}+\frac{y^{2}}{n}-\frac{z^{2}}{n}=1,
que é a equação de um hiperbolóide de uma folha (eixo principal ao longo do eixo z).
  • Parâmetro conveniente (uso prático para desenhar ou entender): tomar parâmetros (t,\theta) com t\in\mathbb{R}, \theta\in[0,2\pi) e escrever
z=t,\qquad x=\sqrt{n+t^{2}}\cos\theta,\qquad y=\sqrt{n+t^{2}}\sin\theta.
Isto gera toda a superfície. Geometricamente: hiperbolóide de uma folha, simétrico em relação ao plano z=0, sem vértice, conectado e ilimitado.

Passo 6

Caso n=0. Descrição analítica e geométrica.
  • A equação é
x^{2}+y^{2}-z^{2}=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+y^{2}=z^{2}.
  • Esta é a equação de um cone duplo de vértice na origem e eixos ao longo de z: as superfícies z=+\sqrt{x^{2}+y^{2}} e z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • Parâmetro útil: em coordenadas polares no plano xy,
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=\pm r,\qquad r\ge 0,\\ \theta\in[0,2\pi).
  • Geometricamente: cone reto de dupla folha (duas napas positivas e negativas) com vértice em (0,0,0).

Passo 7

Caso n<0. Descrição analítica e geométrica.
  • Escreva a:=\sqrt{-n}>0. A equação fica
x^{2}+y^{2}-z^{2}=-a^{2}\quad\Longleftrightarrow\quad z^{2}-x^{2}-y^{2}=a^{2}.
  • Para um z fixo, a condição é x^{2}+y^{2}=n+z^{2}=z^{2}-a^{2}, o que exige z^{2}\ge a^{2}, ou seja |z|\ge a. Para tais z a interseção é um círculo de raio \sqrt{z^{2}-a^{2}}. Para |z|<a não há pontos.
  • Isto produz duas componentes desconexas da superfície: uma folha com z\ge a e outra com z\le -a. Cada folha é um hiperbolóide de duas folhas (ou seja, o conjunto total é o hiperbolóide de duas folhas orientado ao longo do eixo z).
  • Parâmetro (para cada folha): tomar t com |t|\ge a e \theta\in[0,2\pi),
z=t,\qquad x=\sqrt{t^{2}-a^{2}}\cos\theta,\qquad y=\sqrt{t^{2}-a^{2}}\sin\theta.
  • Geometricamente: duas napas separadas, simétricas em relação ao plano z=0, cada uma começando em z=\pm a (no nível z=\pm a a seção é o círculo de raio zero, ou seja o ponto (0,0,\pm a)).

Passo 8

Resumo interpretativo e dicas para a prova (o jeitinho de reconhecer rápido):
  • Sempre verifique a forma x^{2}+y^{2}-z^{2}=n e observe o sinal de n.
  • Se o lado direito for positivo → hiperbolóide de uma folha; se for zero → cone duplo; se for negativo → hiperbolóide de duas folhas.
  • Use seções transversais z= constante para visualizar facilmente círculos e domínios de existência (isso é rápido e confiável na prova).
  • Lembre: todos os n\in\mathbb{R} são possíveis porque se n<0 pode‑se escolher z grande o suficiente em módulo para compensar.

Resposta

Todos os n\in\mathbb{R}.
Se n>0: \displaystyle \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x^{2}+y^{2}-z^{2}=n\}, hiperbolóide de uma folha; parâmetro: z=t\in\mathbb{R},\; x=\sqrt{n+t^{2}}\cos\theta,\; y=\sqrt{n+t^{2}}\sin\theta,\; \theta\in[0,2\pi).
Se n=0: \displaystyle \mathcal{C}_{0}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}, cone duplo com vértice em (0,0,0); parâmetro: x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta,\; z=\pm r,\; r\ge0.
Se n<0: escrevendo a=\sqrt{-n}>0,
\displaystyle \mathcal{C}_{n}(f)=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:z^{2}-x^{2}-y^{2}=a^{2}\}, hiperbolóide de duas folhas (duas componentes |z|\ge a); parâmetro em cada folha: z=t,\; |t|\ge a,\; x=\sqrt{t^{2}-a^{2}}\cos\theta,\; y=\sqrt{t^{2}-a^{2}}\sin\theta,\; \theta\in[0,2\pi).

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