Em cada um dos exercícios chame de
o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de
. Chame de
o conjunto de nível
de
e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível
da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas principais, usando
como o nível da função:
- Encontrar todos os possíveis valores de
para os quais o conjunto de nível existe (ou seja, para os quais é não vazio). - Descrever analiticamente todos os possíveis conjuntos de nível
da função dada e, se possível, representá‑los geometricamente.
Informações dadas (assumindo a formulação completa da função):
- A função é
definida por . - O conjunto de nível pedido é
.
Passo 2
O que é um conjunto de nível?
- Para uma função
, o conjunto de nível de valor é o conjunto de pontos onde a função vale exatamente :
No nosso caso precisamos resolver a equação
e estudar para quais
há soluções e como esses conjuntos se parecem.
Passo 3
Reescrever a equação de forma útil e analisar existência de soluções.
A equação pode ser escrita como
A equação pode ser escrita como
Observação importante: o lado esquerdo
é sempre
. Logo, para existir algum
dado um
é preciso que
Agora raciocinamos sobre
:
- Se
, então para qualquer temos . Logo existem pontos para todo (por exemplo ). - Se
, basta escolher com para que . Por exemplo, tomar dá e é solução.
Conclusão intercalar: para todo
existe pelo menos um ponto que satisfaz a equação; portanto todos os
reais são possíveis níveis.
Passo 4
Classificação geométrica: ideia geral.
A equação define uma superfície quádrupla (um “quadric surface”) cuja forma depende do sinal de
. Vamos estudar os três casos
,
e
separadamente — isso é o procedimento padrão para quadráticas com sinais mistos.
A equação
Passo 5
Caso
. Descrição analítica e geométrica.
- A equação é
- Para qualquer valor fixo de
temos
onde
. Portanto a interseção com o plano
constante é sempre um círculo de raio
. Assim a superfície tem círculos para todas as alturas
e é conectada.
- Pode‑se escrever em forma padrão dividindo por
:
que é a equação de um hiperbolóide de uma folha (eixo principal ao longo do eixo
).
- Parâmetro conveniente (uso prático para desenhar ou entender): tomar parâmetros
com , e escrever
Isto gera toda a superfície. Geometricamente: hiperbolóide de uma folha, simétrico em relação ao plano
, sem vértice, conectado e ilimitado.
Passo 6
Caso
. Descrição analítica e geométrica.
- A equação é
- Esta é a equação de um cone duplo de vértice na origem e eixos ao longo de
: as superfícies e . - Parâmetro útil: em coordenadas polares no plano
,
- Geometricamente: cone reto de dupla folha (duas napas positivas e negativas) com vértice em
.
Passo 7
Caso
. Descrição analítica e geométrica.
- Escreva
. A equação fica
- Para um
fixo, a condição é , o que exige , ou seja . Para tais a interseção é um círculo de raio . Para não há pontos. - Isto produz duas componentes desconexas da superfície: uma folha com
e outra com . Cada folha é um hiperbolóide de duas folhas (ou seja, o conjunto total é o hiperbolóide de duas folhas orientado ao longo do eixo ). - Parâmetro (para cada folha): tomar
com e ,
- Geometricamente: duas napas separadas, simétricas em relação ao plano
, cada uma começando em (no nível a seção é o círculo de raio zero, ou seja o ponto ).
Passo 8
Resumo interpretativo e dicas para a prova (o jeitinho de reconhecer rápido):
- Sempre verifique a forma
e observe o sinal de . - Se o lado direito for positivo → hiperbolóide de uma folha; se for zero → cone duplo; se for negativo → hiperbolóide de duas folhas.
- Use seções transversais
constante para visualizar facilmente círculos e domínios de existência (isso é rápido e confiável na prova). - Lembre: todos os
são possíveis porque se pode‑se escolher grande o suficiente em módulo para compensar.
Resposta
Todos os
.
Se
:
, hiperbolóide de uma folha; parâmetro:
.
Se
:
, cone duplo com vértice em
; parâmetro:
.
Se
: escrevendo
,
, hiperbolóide de duas folhas (duas componentes
); parâmetro em cada folha:
.