Em cada um dos exercícios chame de
o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de
. Chame de
o conjunto de nível
de
e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível
da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
Pede-se:
- Encontrar todos os possíveis valores do nível
(ou seja, todos os para os quais existem pontos com ). - Para cada
possível, descrever analiticamente o conjunto de nível . - Quando for possível, representar geometricamente esses conjuntos (descrever sua forma no plano).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A função é a função arco-seno aplicada ao produto
. - É preciso tratar a relação entre o argumento do arco-seno (
) e o valor .
Passo 2
Entender a função
(arco-seno) — domínio, contradomínio e propriedades básicas.
- A função
atinge valores apenas em . Por definição a função inversa principal tem domínio e imagem (intervalo de valores) igual a .
Explicando de forma bem direta:
-
está definida se e somente se . - Se
então .
Isto é uma propriedade padrão da função arco-seno (escolha da rama principal).
Passo 3
Aplicar isso ao nosso
. A expressão
exige que o argumento satisfaça
Para um número
ser nível de
precisa existir
tal que
. Aplicando a função seno aos dois lados (função seno é inversa da arco-seno no intervalo da imagem), obtemos a equivalência
desde que
esteja na imagem de
, isto é,
. Se
não estiver nesse intervalo então não existe
com
.
Portanto, a condição necessária e suficiente para existência de pontos no nível
é
e, nesse caso,
Passo 4
Analisar a equação
em casos separados — isto dá a descrição analítica detalhada dos conjuntos de nível.
Defina
. Observações básicas sobre
:
- Como
, tem-se . - Caso
fora desse intervalo, o conjunto de nível é vazio: .
Agora os casos:
Caso A:
(ou seja,
).
- A equação
pode ser reescrita, para , como
- Geometricamente,
com é uma hipérbole retangular (equivalente à família escalada). - Se
: a hipérbole tem ramos nos quadrantes I e III (pontos com e de mesmo sinal). - Se
: a hipérbole tem ramos nos quadrantes II e IV (sinais opostos).
- Se
- Assíntotas:
e (eixo e eixo ).
Caso B:
(ou seja,
).
- Dentro do intervalo
a única solução de é . - A equação
significa ou . Assim
isto é, a união dos dois eixos coordenados (o eixo
e o eixo
). Geometricamente é a figura formada pelos dois eixos (linear, degenerada em relação à hipérbole).
Passo 5
Parâmetros e exemplos concretos (para fixar a ideia e para usar na prova sem calculadora):
- Se
então . Logo
Exemplos de pontos:
.
- Se
então . - Se
então e
hipérbole com ramos em I e III.
Passo 6
Resumo geométrico (para desenhar rápido na prova):
- Para cada
diferente de , é a hipérbole rectangular . Desenhar é desenhar a curva . - Para
, é a união dos eixos e . - Para
, obtém-se as hipérboles (caso limite, com ). - Para
, .
Resposta
Para
,
Se
(isto é,
):
Se
:
uma hipérbole rectangular; para
os ramos ficam nos quadrantes I e III, para
nos quadrantes II e IV.
Para
: