Em cada um dos exercícios chame de n o nível da função dada e encontre todos os possíveis valores de n. Chame de \mathcal{C}_{n}(f) o conjunto de nível n de f e descreva analiticamente todos os posssíveis conjuntos de nível n da função dada e ainda, se for possível, represente-os geometricamente.
f(x, y)=\operatorname{arcsen}(x y)

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\supset\operatorname{dom}(f)\to\mathbb{R} definida por
f(x,y)=\operatorname{arcsen}(x y).
Pede-se:
  • Encontrar todos os possíveis valores do nível n (ou seja, todos os n para os quais existem pontos (x,y) com f(x,y)=n).
  • Para cada n possível, descrever analiticamente o conjunto de nível \mathcal{C}_n(f)=\{(x,y):f(x,y)=n\}.
  • Quando for possível, representar geometricamente esses conjuntos (descrever sua forma no plano).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A função é a função arco-seno aplicada ao produto x y.
  • É preciso tratar a relação entre o argumento do arco-seno ( x y) e o valor n.

Passo 2

Entender a função \operatorname{arcsen} (arco-seno) — domínio, contradomínio e propriedades básicas.
  • A função \operatorname{sen}:\mathbb{R}\to[-1,1] atinge valores apenas em [-1,1]. Por definição a função inversa principal \operatorname{arcsen} tem domínio [-1,1] e imagem (intervalo de valores) igual a \left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Explicando de forma bem direta:
  • \operatorname{arcsen}(t) está definida se e somente se t\in[-1,1].
  • Se t\in[-1,1] então \operatorname{arcsen}(t)\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
    Isto é uma propriedade padrão da função arco-seno (escolha da rama principal).

Passo 3

Aplicar isso ao nosso f. A expressão f(x,y)=\operatorname{arcsen}(x y) exige que o argumento satisfaça
x y \in [-1,1].
Para um número n ser nível de f precisa existir (x,y) tal que \operatorname{arcsen}(x y)=n. Aplicando a função seno aos dois lados (função seno é inversa da arco-seno no intervalo da imagem), obtemos a equivalência
\operatorname{arcsen}(x y)=n \quad\Longleftrightarrow\quad x y = \operatorname{sen}(n),
desde que n esteja na imagem de \operatorname{arcsen}, isto é, n\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]. Se n não estiver nesse intervalo então não existe (x,y) com \operatorname{arcsen}(x y)=n.
Portanto, a condição necessária e suficiente para existência de pontos no nível n é
n\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
e, nesse caso,
\mathcal{C}_n(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : x y = \operatorname{sen}(n)\}.

Passo 4

Analisar a equação x y = \operatorname{sen}(n) em casos separados — isto dá a descrição analítica detalhada dos conjuntos de nível.
Defina c:=\operatorname{sen}(n). Observações básicas sobre c:
  • Como n\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], tem-se -1\le c\le 1.
  • Caso n fora desse intervalo, o conjunto de nível é vazio: \mathcal{C}_n(f)=\varnothing.
Agora os casos:
Caso A: c\neq 0 (ou seja, \operatorname{sen}(n)\neq 0).
  • A equação x y = c pode ser reescrita, para x\neq 0, como
y=\frac{c}{x},\qquad x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Geometricamente, xy=c com c\neq0 é uma hipérbole retangular (equivalente à família y=\text{const}\cdot(1/x) escalada).
    • Se c>0: a hipérbole tem ramos nos quadrantes I e III (pontos com x e y de mesmo sinal).
    • Se c<0: a hipérbole tem ramos nos quadrantes II e IV (sinais opostos).
  • Assíntotas: x=0 e y=0 (eixo y e eixo x).
Caso B: c=0 (ou seja, \operatorname{sen}(n)=0).
  • Dentro do intervalo n\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right] a única solução de \operatorname{sen}(n)=0 é n=0.
  • A equação x y = 0 significa x=0 ou y=0. Assim
\mathcal{C}_0(f)=\{(x,y):x=0\}\cup\{(x,y):y=0\},
isto é, a união dos dois eixos coordenados (o eixo y e o eixo x). Geometricamente é a figura formada pelos dois eixos (linear, degenerada em relação à hipérbole).

Passo 5

Parâmetros e exemplos concretos (para fixar a ideia e para usar na prova sem calculadora):
  • Se n=\tfrac{\pi}{6} então \operatorname{sen}(n)=\operatorname{sen}\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\tfrac{1}{2}. Logo
\mathcal{C}_{\pi/6}(f)=\{(x,y):xy=\tfrac{1}{2}\}=\left\{(t,\tfrac{1}{2t}):t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\right\}.
Exemplos de pontos: (1,\tfrac{1}{2}), (2,\tfrac{1}{4}), (\tfrac{1}{2},1).
  • Se n=0 então \mathcal{C}_0(f)=\{(x,y):xy=0\}=\{x=0\}\cup\{y=0\}.
  • Se n=\tfrac{\pi}{2} então \operatorname{sen}(n)=1 e
\mathcal{C}_{\pi/2}(f)=\{(x,y):xy=1\}=\{(t,1/t):t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\},
hipérbole com ramos em I e III.

Passo 6

Resumo geométrico (para desenhar rápido na prova):
  • Para cada n\in\left(-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right) diferente de 0, \mathcal{C}_n(f) é a hipérbole rectangular xy=\operatorname{sen}(n). Desenhar é desenhar a curva y=\operatorname{sen}(n)/x.
  • Para n=0, \mathcal{C}_0(f) é a união dos eixos x e y.
  • Para n=\pm\tfrac{\pi}{2}, obtém-se as hipérboles xy=\pm 1 (caso limite, com |c|=1).
  • Para n\notin\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right], \mathcal{C}_n(f)=\varnothing.

Resposta

n\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right].
Para n\in\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right],
\mathcal{C}_n(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x y=\operatorname{sen}(n)\}.
Se \operatorname{sen}(n)=0 (isto é, n=0):
\mathcal{C}_0(f)=\{(x,y):x=0\}\cup\{(x,y):y=0\}.
Se \operatorname{sen}(n)\neq 0:
\mathcal{C}_n(f)=\left\{(t,\frac{\operatorname{sen}(n)}{t}):t\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\right\},
uma hipérbole rectangular; para \operatorname{sen}(n)>0 os ramos ficam nos quadrantes I e III, para \operatorname{sen}(n)<0 nos quadrantes II e IV.
Para n\notin\left[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right]:
\mathcal{C}_n(f)=\varnothing.

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