Em cada um dos exercícios 1 a 6 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado.
R: y=\ln x, y=0, x=e^{2};
E : eixo y

Passo 1

O enunciado dá a região R limitada por
y=\ln x,\quad y=0,\quad x=e^{2}
e pede o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y. Aqui vamos usar o método dos discos (ou anéis) circulares, construindo seções transversais perpendiculares ao eixo de rotação.

Passo 2

Para usar discos em torno do eixo y, escrevemos as fronteiras de R em função de y. De y=\ln x segue x=e^{y}. A reta vertical x=e^{2} corresponde a raio constante. O intervalo de y vai de
y_{\min}=0 \quad\text{até}\quad y_{\max}=\ln(e^{2})=2.é

Passo 3

Em cada y\in[0,2], a seção perpendicular ao eixo y é um anel de raio externo
R_{\text{ext}} = e^{2}
e raio interno
R_{\text{int}} = e^{y}.
A área dessa seção é
A(y)=\pi\bigl(R_{\text{ext}}^{2}-R_{\text{int}}^{2}\bigr) =\pi\bigl(e^{4}-e^{2y}\bigr).

Passo 4

O volume é dado por
V=\int_{y=0}^{2}A(y)\,dy =\pi\!\int_{0}^{2}\bigl(e^{4}-e^{2y}\bigr)\,dy.
Calculando cada termo:
\int_{0}^{2}e^{4}\,dy =e^{4}\cdot2=2e^{4}, \quad \int_{0}^{2}e^{2y}\,dy =\frac{e^{2y}}{2}\Big|_{0}^{2} =\frac{e^{4}-1}{2}.
Logo,
V =\pi\Bigl(2e^{4}-\frac{e^{4}-1}{2}\Bigr) =\pi\frac{4e^{4}-(e^{4}-1)}{2} =\pi\frac{3e^{4}+1}{2}.

Resposta

V=\frac{\pi}{2}\bigl(3e^{4}+1\bigr).

Exercícios relacionados