Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x, pelo método que achar conveniente.
R: \begin{cases}y=\frac{x}{4}+1, & \text { se }-4 \leq x<0 \\\ y=\sqrt{1-x^{2}}, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ y=0, & \text { se } x>1\end{cases}
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por
– de x=-4 a x=0 pela reta y=\tfrac{x}{4}+1,
– de x=0 a x=1 pelo arco y=\sqrt{1-x^2},
– e pelo eixo y=0 (pois para x>1, y=0).
Como giramos em torno de x, vamos usar o método dos discos (ou fatias):
cada fatia perpendicular a x tem raio y(x) e área \pi[y(x)]^2.
Passo 2
Montamos a soma das integrais de volume em cada trecho:
V = \pi \int_{-4}^{0} \bigl(\tfrac{x}{4}+1\bigr)^{2}\,dx \;+\; \pi \int_{0}^{1} \bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr)^{2}\,dx.