Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x, pelo método que achar conveniente.
R: \begin{cases}y=\frac{x}{4}+1, & \text { se }-4 \leq x<0 \\\ y=\sqrt{1-x^{2}}, & \text { se } 0 \leq x \leq 1 \\\ y=0, & \text { se } x>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a região R limitada por
– de x=-4 a x=0 pela reta y=\tfrac{x}{4}+1,
– de x=0 a x=1 pelo arco y=\sqrt{1-x^2},
– e pelo eixo y=0 (pois para x>1, y=0).
Como giramos em torno de x, vamos usar o método dos discos (ou fatias):
cada fatia perpendicular a x tem raio y(x) e área \pi[y(x)]^2.

Passo 2

Montamos a soma das integrais de volume em cada trecho:
V = \pi \int_{-4}^{0} \bigl(\tfrac{x}{4}+1\bigr)^{2}\,dx \;+\; \pi \int_{0}^{1} \bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr)^{2}\,dx.

Passo 3

Calculamos o primeiro termo:
\int_{-4}^{0} \bigl(\tfrac{x}{4}+1\bigr)^{2}dx = \int_{-4}^{0}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{16}+\tfrac{x}{2}+1\Bigr)dx = \Bigl[\tfrac{x^{3}}{48}+\tfrac{x^{2}}{4}+x\Bigr]_{-4}^{0} = 0 -\Bigl(-\tfrac{4}{3}\Bigr) = \tfrac{4}{3}.
Logo o volume desse pedaço é
V_{1} = \pi\cdot\tfrac{4}{3} = \tfrac{4\pi}{3}.

Passo 4

Calculamos o segundo termo:
\int_{0}^{1} \bigl(\sqrt{1-x^{2}}\bigr)^{2}dx = \int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx = \Bigl[x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = 1 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{2}{3}.
Logo
V_{2} = \pi\cdot\tfrac{2}{3} = \tfrac{2\pi}{3}.

Passo 5

Somando as duas parcelas de volume:
V = V_{1} + V_{2} = \tfrac{4\pi}{3} + \tfrac{2\pi}{3} = 2\pi.

Resposta

O volume do sólido é 2\pi.

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