Cada um dos exercícios a)-d ) dá uma função f(x), um ponto x_{0} e um número positivo \epsilon. Determine L=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x). Em seguida, determine um número \delta>0 de modo que para todo x
0<\left|x-x_{0}\right|<\delta \Rightarrow|f(x)-L|<\epsilon
f(x)=3-2 x, x_{0}=3, \epsilon=0,02

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função f(x)=3-2x.
  • O ponto x_{0}=3.
  • O número \epsilon=0,02.
O que é pedido:
  • Determinar L=\lim_{x\to x_{0}} f(x).
  • Encontrar um \delta>0 tal que, para todo x, se 0<|x-x_{0}|<\delta então |f(x)-L|<\epsilon.

Passo 2

Calcular o limite L=\lim_{x\to 3} (3-2x).
Explicação rápida: para funções polinomiais (ou lineares) o limite no ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto, porque são contínuas. Aqui basta substituir x=3.
Logo,
L=\lim_{x\to 3}(3-2x)=3-2\cdot 3=3-6=-3.

Passo 3

Agora vamos à parte \epsilon \delta: queremos traduzir a condição |f(x)-L|<\epsilon em uma desigualdade envolvendo |x-x_{0}|.
Começamos calculando |f(x)-L| em termos de |x-3|:
|f(x)-L|=\bigl|(3-2x)-(-3)\bigr|=\bigl|3-2x+3\bigr|=\bigl|6-2x\bigr|.

Passo 4

Manipular \bigl|6-2x\bigr| para expressá-la com |x-3|.
Observe que
\bigl|6-2x\bigr|=2\bigl|3-x\bigr|=2\bigl|x-3\bigr|.
(Isto usa a propriedade |a b|=|a|\,|b| e |3-x|=|x-3|.)
Portanto a condição |f(x)-L|<\epsilon é equivalente a
2|x-3|<\epsilon.

Passo 5

Isolar |x-3|:
|x-3|<\frac{\epsilon}{2}.
Substituindo o valor dado \epsilon=0,02:
|x-3|<\frac{0,02}{2}=0,01.
Logo qualquer \delta com 0<\delta\le 0,01 garante que 0<|x-3|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<0,02. Podemos escolher o mais simples:
\delta=0,01.

Passo 6

Resumo didático: a ideia foi usar a forma explícita da função linear para ligar a diferença no valor da função à diferença na variável. Como a diferença |f(x)-L| saiu proporcional a |x-3| com fator 2, basta escolher \delta=\epsilon/2. Isso é um padrão útil em provas \epsilon- \delta: quando |f(x)-L| se reduz a C|x-x_{0}| com constante C>0, escolhe-se \delta=\epsilon/C.
Força aí — essa técnica aparece muito em limites de funções lineares e polinomiais.

Resposta

L=-3
\delta=0,01

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