Cada um dos exercícios a)-d ) dá uma função f(x), um ponto x_{0} e um número positivo \epsilon. Determine L=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x). Em seguida, determine um número \delta>0 de modo que para todo x
Encontrar um \delta>0 tal que, para todo x, se 0<|x-x_{0}|<\delta então |f(x)-L|<\epsilon.
Passo 2
Calcular o limite L=\lim_{x\to 3} (3-2x).
Explicação rápida: para funções polinomiais (ou lineares) o limite no ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto, porque são contínuas. Aqui basta substituir x=3.
Logo,
L=\lim_{x\to 3}(3-2x)=3-2\cdot 3=3-6=-3.
Passo 3
Agora vamos à parte \epsilon–\delta: queremos traduzir a condição |f(x)-L|<\epsilon em uma desigualdade envolvendo |x-x_{0}|.
(Isto usa a propriedade |a b|=|a|\,|b| e |3-x|=|x-3|.)
Portanto a condição |f(x)-L|<\epsilon é equivalente a
2|x-3|<\epsilon.
Passo 5
Isolar |x-3|:
|x-3|<\frac{\epsilon}{2}.
Substituindo o valor dado \epsilon=0,02:
|x-3|<\frac{0,02}{2}=0,01.
Logo qualquer \delta com 0<\delta\le 0,01 garante que 0<|x-3|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<0,02. Podemos escolher o mais simples:
\delta=0,01.
Passo 6
Resumo didático: a ideia foi usar a forma explícita da função linear para ligar a diferença no valor da função à diferença na variável. Como a diferença |f(x)-L| saiu proporcional a |x-3| com fator 2, basta escolher \delta=\epsilon/2. Isso é um padrão útil em provas \epsilon-\delta: quando |f(x)-L| se reduz a C|x-x_{0}| com constante C>0, escolhe-se \delta=\epsilon/C.
Força aí — essa técnica aparece muito em limites de funções lineares e polinomiais.