Cada um dos exercícios
) dá uma função
, um ponto
e um número positivo
. Determine
. Em seguida, determine um número
de modo que para todo
Passo 1
O enunciado dá:
-
, -
, -
.
Pede-se:
- Determinar
. - Encontrar um
tal que para todo valha
Passo 2
Verificar a expressão e o domínio: a função dada tem denominador zero em
, portanto
não está definida em
. Porém o limite pode existir mesmo assim. Vamos simplificar a expressão algébrica para ver o comportamento quando
se aproxima de
.
Fatorando o numerador:
Para
podemos simplificar:
Passo 3
Cálculo do limite: como para
próximo de
(mas diferente de
) vale
, temos
Explicação curta: a função simplificada
é contínua, então o limite é o valor obtido por substituição.
Passo 4
Lembra do que significa a condição
-
: dado um
(aqui
), devemos achar
tal que sempre que
então
. Para isso é prático escrever
em função de
.
Passo 5
Para
(caso em que
está definida), usando
e
:
Portanto a condição
é equivalente a
.
Passo 6
Conclusão prática: qualquer
com
funciona. Em particular, para o
dado escolhemos
Verificação final: se
então, como vimos,
o que prova a propriedade
-
.